Задание 13: тригонометрическое уравнение и отбор корней
Полная схема на 2 балла: решить уравнение и корректно отобрать корни на промежутке.
Задание 13 состоит из двух пунктов: а) решить уравнение, б) отобрать корни на заданном промежутке. За пункт а дают 1 балл, за оба — 2. Пункт б без пункта а не оценивается. Именно отбор корней — место, где теряется большинство баллов.
sin x = a (|a| ≤ 1): x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn, n ∈ Z; или x = arcsin a + 2πn и x = π − arcsin a + 2πn; cos x = a (|a| ≤ 1): x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z; tg x = a: x = arctg a + πn, n ∈ Z; частные случаи: sin x = 0 → x = πn; sin x = 1 → x = π/2 + 2πn; sin x = −1 → x = −π/2 + 2πn; cos x = 0 → x = π/2 + πn; cos x = 1 → x = 2πn; cos x = −1 → x = π + 2πn
Методы решения уравнения (пункт а)
- Свести всё к одной функции одного аргумента через тождества и формулы двойного угла.
- Разложить на множители и приравнять каждый множитель к нулю. Делить на sin x или cos x нельзя — сначала проверить, не являются ли их нули корнями.
- Замена t = sin x или t = cos x с условием |t| ≤ 1, отбросить корни вне отрезка.
- Однородное уравнение a·sin x + b·cos x = 0 — разделить на cos x (предварительно убедившись, что cos x = 0 не даёт корней), получить tg x = −b/a.
- Однородное второй степени a·sin²x + b·sin x cos x + c·cos²x = 0 — разделить на cos²x, получить квадратное относительно tg x.
- Если в уравнении есть tg или ctg либо дробь — обязательно выписать ОДЗ.
Четыре способа отбора корней (пункт б)
| Способ | Как работает | Когда лучше |
|---|---|---|
| Единичная окружность | отметить дугу промежутка и точки серий | промежуток длиной 2π или меньше |
| Двойное неравенство | подставить серию в a ≤ x ≤ b и решить относительно n | длинный или несимметричный промежуток |
| Перебор n | подставлять n = −2, −1, 0, 1, 2 и проверять попадание | быстро, но легко пропустить корень |
| Числовая прямая | нанести точки серий на прямую и отметить промежуток | когда серий несколько |
Метод двойного неравенства оформляется так: для серии x = π/3 + 2πn и промежутка [−3π; −3π/2] пишем −3π ≤ π/3 + 2πn ≤ −3π/2. Делим на π: −3 ≤ 1/3 + 2n ≤ −1,5. Вычитаем 1/3: −10/3 ≤ 2n ≤ −11/6. Делим на 2: −5/3 ≤ n ≤ −11/12. Целое n = −1. Подставляем: x = π/3 − 2π = −5π/3. Все шаги должны быть в записи — эксперт проверяет именно их.
а) Решите уравнение 2sin²x + 3cos x = 0. б) Найдите корни на отрезке [−3π; −3π/2]. Решение а: заменяем sin²x = 1 − cos²x. Получаем 2 − 2cos²x + 3cos x = 0, то есть 2cos²x − 3cos x − 2 = 0. Замена t = cos x, |t| ≤ 1: 2t² − 3t − 2 = 0, D = 9 + 16 = 25, t₁ = 2, t₂ = −1/2. Корень t = 2 отбрасываем, так как |t| ≤ 1. Значит cos x = −1/2, откуда x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z. Решение б: для серии x = 2π/3 + 2πn: −3π ≤ 2π/3 + 2πn ≤ −3π/2, делим на π: −3 ≤ 2/3 + 2n ≤ −1,5, значит −11/6 ≤ n ≤ −13/12, целых n нет. Для серии x = −2π/3 + 2πn: −3 ≤ −2/3 + 2n ≤ −1,5, значит −7/6 ≤ n ≤ −5/12, целое n = −1, откуда x = −2π/3 − 2π = −8π/3. Ответ: а) ±2π/3 + 2πn; б) −8π/3.
1) Отбор сделан «по картинке» без выкладок — эксперт не видит обоснования и ставит 1 балл вместо 2. 2) Обе серии не проверены: проверили только одну и решили, что вторая не даёт корней. 3) Корень t = 2 при замене не отброшен. 4) Деление на cos x без проверки — потеря серии корней. 5) Ответ пункта б записан в виде серии, а не конкретных чисел: требуется перечислить корни. 6) Границы промежутка: если скобка квадратная, конец включается, и корень, равный границе, идёт в ответ.
- ✓Записал ОДЗ, если в уравнении есть тангенс, котангенс или знаменатель
- ✓Отбросил корни замены, выходящие за |t| ≤ 1
- ✓Проверил обе серии корней при отборе
- ✓Показал выкладки отбора, а не только рисунок
- ✓Записал ответы к пунктам а и б отдельно