Задание 19: числа и их свойства (теория чисел)
Три обязательных пункта, приём оценки и как получить 2 балла даже без полного решения.
Задание 19 стоит 4 балла и почти всегда состоит из трёх пунктов: а) существует ли пример, б) может ли величина принимать значение, в) найти наибольшее или наименьшее значение. Пункты оцениваются по 1, 1 и 2 балла — брать их можно по отдельности.
Структура и стратегия
| Пункт | Типичный вопрос | Что нужно предъявить |
|---|---|---|
| а | Может ли …? Существует ли …? | конкретный пример с проверкой либо доказательство невозможности |
| б | Может ли величина равняться N? | пример или ссылка на признак делимости / остаток |
| в | Найдите наибольшее (наименьшее) значение | оценка сверху (снизу) + пример, где оценка достигается |
Пункт в оценивается только при наличии двух частей: оценки и примера. Оценка без примера — 1 балл, пример без оценки — 0 или 1 балл. Формулировка в записи: «Покажем, что величина не превосходит M» и «Приведём пример, когда величина равна M». Обе фразы обязаны присутствовать.
признаки делимости: на 3 и 9 — по сумме цифр; на 4 — по двум последним цифрам; на 8 — по трём последним; на 11 — по знакопеременной сумме цифр; деление с остатком: n = qd + r, где 0 ≤ r < d; любое целое: n = 2k или n = 2k + 1; n = 3k, 3k+1, 3k+2; квадраты дают остатки 0 или 1 при делении на 3 и 4, остатки 0, 1, 4 при делении на 5; сумма арифметической прогрессии: S = (a₁ + aₙ)n/2; сумма 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2; разность квадратов: a² − b² = (a−b)(a+b) — основной приём разложения
Пять рабочих приёмов
- Рассмотреть остатки. Если требуется показать невозможность, почти всегда помогает разбор по модулю 2, 3, 4, 5 или 9.
- Оценить сверху и снизу. Наибольшее значение суммы ограничивают, заменяя каждое слагаемое максимально возможным.
- Разложить на множители и перебрать делители. Уравнения вида xy + x + y = N решают через (x+1)(y+1) = N + 1.
- Использовать чётность. Сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётна — этого часто достаточно.
- Строить пример конструктивно: не искать наугад, а собирать набор из уже понятной оценки.
Сумма нескольких различных натуральных чисел равна 100. а) Может ли их быть 12? б) Может ли их произведение делиться на 1000? в) Какое наибольшее количество чисел могло быть? Пункт а: минимальная сумма 12 различных натуральных — это 1+2+…+12 = 78 ≤ 100. Разницу 22 добавим к наибольшему: набор 1, 2, …, 11, 34 даёт сумму 78 − 12 + 34 = 100. Да, может. Пункт б: 1000 = 2³·5³. Нужны множители, дающие три пятёрки: например 5, 10, 25, 50 в сумме 90, плюс 8 и 2 — но 2 не должно повторяться; берём 5, 25, 40, 30 — сумма 100, произведение 5·25·40·30 = 150000, делится на 1000. Да. Пункт в: оценка. Если чисел n, минимальная сумма 1+2+…+n = n(n+1)/2 ≤ 100. При n = 13 это 91 ≤ 100, при n = 14 это 105 > 100. Значит n ≤ 13. Пример для 13: 1+2+…+13 = 91, нужно добавить 9 — увеличим наибольшее число с 13 до 22: набор 1,…,12, 22 даёт 78 + 22 = 100. Ответ: 13.
1) В пункте в дана только оценка без примера — половина баллов теряется. 2) Пример приведён, но не проверен: нужно явно посчитать сумму или произведение. 3) На вопрос «может ли» отвечают «да» без конкретного примера. 4) Забывают, что натуральные числа начинаются с 1, а «различные» означает попарно различные. 5) Пункты а, б, в не подписаны в бланке — эксперт не может сопоставить их с критериями.
- ✓Подписал пункты а, б, в отдельно
- ✓В пункте в есть и оценка, и пример
- ✓Каждый пример проверен арифметически прямо в записи
- ✓Использовал остатки или чётность там, где нужно доказать невозможность
- ✓Записал явный ответ по каждому пункту