Тождественные преобразования: степени, корни, логарифмы, модуль
Сводка всех свойств, без автоматического владения которыми не решается ни одно задание части 2.
Преобразования не оцениваются отдельно, но входят в каждое задание. Ошибка в свойстве логарифма или в раскрытии модуля обнуляет задачу целиком, даже если идея решения верна.
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ; a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) при a ≥ 0; ⁿ√(aⁿ) = |a| при чётном n и = a при нечётном n; a⁰ = 1 (a ≠ 0)
log_a b = c ⇔ a^c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0); a^(log_a b) = b; log_a(xy) = log_a x + log_a y; log_a(x/y) = log_a x − log_a y; log_a(x^p) = p·log_a x; log_(a^p) x = (1/p)·log_a x; log_a b = log_c b / log_c a; log_a b = 1/log_b a; log_a 1 = 0; log_a a = 1; a^(log_c b) = b^(log_c a)
log_a(x²) ≠ 2·log_a x. Верно log_a(x²) = 2·log_a|x|. Вынос чётной степени из-под логарифма без модуля расширяет область определения и создаёт лишние решения — это классический источник посторонних корней в задании 13.
Модуль: три эквивалентные записи
| Запись | Раскрытие | Когда удобна |
|---|---|---|
| |x| = a, a ≥ 0 | x = a или x = −a | простое уравнение |
| |x| < a, a > 0 | −a < x < a | неравенство, одна система |
| |x| > a, a > 0 | x < −a или x > a | неравенство, объединение |
| |f(x)| = |g(x)| | f = g или f = −g | модули с обеих сторон |
| |f(x)| = g(x) | система: g ≥ 0 и (f = g или f = −g) | модуль равен выражению |
| √(f²) = |f| | по знаку f | иррациональные преобразования |
Найдите значение выражения (log₃ 15)/(log₄₅ 3) − log₃ 45. Переходим к одному основанию: 1/log₄₅ 3 = log₃ 45. Значит первое слагаемое равно log₃ 15 · log₃ 45. Обозначим t = log₃ 5, тогда log₃ 15 = 1 + t, log₃ 45 = 2 + t. Выражение: (1 + t)(2 + t) − (2 + t) = (2 + t)(1 + t − 1) = t(2 + t) = t² + 2t. Без числового значения t ответ не получить — значит исходное выражение в реальном задании подобрано так, чтобы t сокращался. Метод остаётся: сводить всё к одному логарифму-переменной и работать с ним как с буквой. Второй разбор: упростите 5^(log₅ 7 + 2). Это 5^(log₅ 7) · 5² = 7 · 25 = 175.
1) log_a x + log_a y = log_a(xy) применяют без учёта ОДЗ: слева нужно x > 0 и y > 0, справа достаточно xy > 0. При переходе слева направо область сужается (корни теряются), справа налево — расширяется (появляются лишние). 2) (a + b)² раскрывают как a² + b². 3) √(a²+b²) «упрощают» до a + b. 4) При делении на выражение с логарифмом не проверяют, не равно ли оно нулю. 5) a^(m/n) для отрицательного a не определено при чётном n — не пишите (−8)^(2/6).
- ✓Знаю все свойства логарифмов наизусть, включая переход к новому основанию
- ✓Помню, что log_a(x²) = 2log_a|x|
- ✓Различаю сужение и расширение ОДЗ при преобразованиях
- ✓Раскрываю модуль через систему, а не «на глаз»
- ✓Проверяю, что основание логарифма положительно и не равно 1