Задание 16: экономическая задача (кредиты, вклады, оптимизация)
Три сюжета, три шаблона расчёта и полный список того, что должно быть в записи на 2 балла.
Задание 16 стоит 2 балла и делится на три сюжета: кредит с дифференцированными платежами, кредит с аннуитетными (равными) платежами и задача на оптимальный выбор. Тип определяется по одной фразе в условии.
Как определить тип задачи
| Фраза в условии | Тип | Ключевая модель |
|---|---|---|
| долг уменьшается на одну и ту же величину | дифференцированный платёж | долги образуют арифметическую прогрессию |
| платежи равны / одинаковые суммы | аннуитетный платёж | геометрическая прогрессия, сумма ряда |
| каждый год долг увеличивается на r%, затем выплачивается | смешанный | рекуррентная формула Dₙ = Dₙ₋₁·k − x |
| найти наибольшую прибыль / наименьшие затраты | оптимизация | квадратичная функция или производная |
| вклад под r% годовых на n лет | сложный процент | S = S₀·(1 + r/100)ⁿ |
Долг S гасится за n периодов равными частями S/n. Долг перед k-м платежом: S·(n − k + 1)/n. Переплата = S·r/100 · (n + 1)/2 · (1/n) · n = S·r/100 · (n + 1)/2 · ... проще: сумма процентов = (r/100)·S·(n + 1)/2 · ... в компактном виде: общая переплата = (r/100)·S·(n+1)/2·(1/1), где r — процент за период. Общая сумма выплат = S + переплата.
k = 1 + r/100 — коэффициент за период; S·kⁿ = x·(kⁿ − 1)/(k − 1), где x — размер каждого платежа; отсюда x = S·kⁿ(k − 1)/(kⁿ − 1); остаток долга после m платежей: Dₘ = S·kᵐ − x·(kᵐ − 1)/(k − 1)
Универсальная рекуррентная модель, которая работает всегда: Dₙ = Dₙ₋₁ · k − xₙ, где Dₙ — долг после n-го платежа, k = 1 + r/100, xₙ — платёж. Если платежи одинаковы, разворачивается в геометрическую прогрессию; если долг убывает равномерно, платежи образуют арифметическую. При n ≤ 4 задачу проще решить прямым перебором по годам, чем формулой.
В июле планируется взять кредит 1 млн рублей на 3 года. Условия: каждый январь долг возрастает на 20%, с февраля по июнь выплачивается часть долга, в июле долг должен быть на 400 тыс. меньше, чем годом ранее. Найдите общую сумму выплат. Схема по годам. Начальный долг 1000. Январь 1: 1000·1,2 = 1200. К июлю долг должен стать 600, значит выплата 1200 − 600 = 600. Январь 2: 600·1,2 = 720. К июлю долг 200, выплата 720 − 200 = 520. Январь 3: 200·1,2 = 240. Долг должен стать 0, выплата 240. Общая сумма: 600 + 520 + 240 = 1360 тыс. рублей. Оформление требует таблицы или явной цепочки по годам, где видно значение долга до и после каждого платежа.
1) Проценты начисляются на текущий, а не на первоначальный долг — путаница даёт неверный ответ при верной идее. 2) Порядок действий внутри года: сначала начисление процентов, потом платёж, если в условии не сказано обратное. 3) Ответ дан в тысячах, когда просили в рублях, или наоборот. 4) В задачах на оптимизацию не проверен характер экстремума и не указано, что найденное значение — именно максимум. 5) Не выписаны единицы и не сказано, что означает введённая переменная. 6) Округление процентов и денег в промежуточных шагах.
- ✓Определил тип задачи по формулировке за 20 секунд
- ✓Записал рекуррентную формулу или таблицу по годам
- ✓Проверил, что после последнего платежа долг равен нулю
- ✓Ответ дал в тех единицах, которые требуются
- ✓Обосновал, что найденное значение — максимум или минимум