Показательные уравнения и неравенства
Пять типовых схем и правило смены знака при основании меньше единицы.
Показательные уравнения встречаются в заданиях 5, 13 и 15. Все они сводятся к одному из пяти видов, а вся сложность концентрируется в неравенствах, где направление знака зависит от основания.
a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x) (a > 0, a ≠ 1); a^f(x) = b ⇔ f(x) = log_a b (b > 0); a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x) при a > 1; a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x) при 0 < a < 1; однородное: A·a^(2x) + B·(ab)^x + C·b^(2x) = 0 — делить на b^(2x) и заменять t = (a/b)^x
Пять типов и приёмы
- Одинаковые основания: приравнять показатели. Предварительно свести 4, 8, 1/2 к степеням двойки.
- Вынесение общего множителя: 2^(x+3) + 2^(x+1) = 20 → 2^x(8 + 2) = 20 → 2^x = 2 → x = 1.
- Замена t = a^x, t > 0: квадратное уравнение относительно t. Отрицательные t отбрасываются немедленно.
- Однородное уравнение: делим на старшую степень одного из оснований, получаем квадратное относительно (a/b)^x.
- Разные основания, не сводимые друг к другу: логарифмируем обе части по любому основанию.
При замене t = a^x всегда пишите t > 0. Показательная функция никогда не принимает неположительных значений, и корень t ≤ 0 отбрасывается без обсуждения. Пропуск этой строки — типичная потеря балла в задании 13.
Решите неравенство (1/3)^(x² − 3x) ≥ 1/9. Приводим правую часть: 1/9 = (1/3)². Основание 1/3 меньше единицы, значит при переходе к показателям знак меняется: x² − 3x ≤ 2. То есть x² − 3x − 2 ≤ 0. D = 9 + 8 = 17, корни (3 ± √17)/2. Решение — отрезок между корнями: x ∈ [(3 − √17)/2; (3 + √17)/2]. Тот, кто не поменял знак, получит дополнение к этому множеству — противоположный ответ. Второй разбор: 4^x − 3·2^x − 4 = 0. Замена t = 2^x, t > 0: t² − 3t − 4 = 0, корни t = 4 и t = −1. Второй отбрасываем, так как t > 0. Из 2^x = 4 следует x = 2.
1) Знак неравенства не поменян при основании из промежутка (0; 1). Проверяйте основание перед каждым переходом, а не по привычке. 2) 4^x путают с (2^x)² и с 2^(x²) — это разные выражения: 4^x = 2^(2x). 3) При замене забыли вернуться к x и записали ответ в терминах t. 4) В уравнении вида a^f = b с b ≤ 0 пишут «нет решений» верно, но забывают это обосновать. 5) Отрицательное основание: (−2)^x не является показательной функцией и в школьном курсе не рассматривается.
- ✓Перед переходом к показателям всегда смотрю, больше основание единицы или меньше
- ✓При замене пишу t > 0
- ✓Свожу все числа к степеням одного основания перед решением
- ✓Возвращаюсь от t к x и записываю ответ через x
- ✓В неравенстве проверяю ответ подстановкой одной точки