Логарифмические уравнения и неравенства, метод рационализации
Как решать неравенства с переменным основанием без разбора случаев и не терять область определения.
Логарифмическое неравенство — самое частое наполнение задания 15 (2 балла). Оно почти всегда решается методом рационализации, который экономит 15 минут по сравнению с разбором случаев.
log_a f(x) = b ⇔ система: f(x) = a^b и f(x) > 0 (второе автоматически); log_a f = log_a g ⇔ система: f = g и f > 0; log_a f > log_a g ⇔ f > g > 0 при a > 1; log_a f > log_a g ⇔ 0 < f < g при 0 < a < 1
Метод рационализации: неравенство log_h(x) f(x) − log_h(x) g(x) > 0 равносильно (h(x) − 1)·(f(x) − g(x)) > 0 на области определения. Иначе говоря, разность логарифмов с одинаковым основанием можно заменить произведением (основание − 1)(аргумент₁ − аргумент₂), сохранив знак.
Таблица замен для рационализации
| Исходное выражение | Равносильная замена (при ОДЗ) | Комментарий |
|---|---|---|
| log_h f − log_h g | (h − 1)(f − g) | одинаковые основания |
| log_h f | (h − 1)(f − 1) | сравнение с нулём |
| a^f − a^g | (a − 1)(f − g) | показательные, a > 0 |
| f^h − g^h | (f − g), если h > 0 | одинаковый показатель |
| |f| − |g| | (f − g)(f + g) | модули |
| √f − √g | f − g при f, g ≥ 0 | корни |
ОДЗ выписывается ДО рационализации и решается отдельно как система: все аргументы логарифмов строго положительны, все основания положительны и не равны единице. Итоговый ответ — пересечение решения рационализованного неравенства с ОДЗ.
Решите неравенство log_(x)(x + 2) ≥ 1. ОДЗ: x > 0, x ≠ 1, x + 2 > 0. Итого x ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞). Представим 1 = log_x x. Неравенство: log_x(x + 2) − log_x x ≥ 0. Рационализация: (x − 1)((x + 2) − x) ≥ 0, то есть (x − 1)·2 ≥ 0, значит x ≥ 1. С учётом ОДЗ (x ≠ 1) получаем x > 1. Ответ: (1; +∞). Разбор случаев занял бы вдвое больше: пришлось бы отдельно рассматривать 0 < x < 1 и x > 1. Второй разбор: log₂(x² − 3x) ≤ 2. ОДЗ: x² − 3x > 0, то есть x < 0 или x > 3. Само неравенство: x² − 3x ≤ 4, то есть x² − 3x − 4 ≤ 0, корни −1 и 4, решение [−1; 4]. Пересечение с ОДЗ: [−1; 0) ∪ (3; 4]. Обратите внимание, что нули ОДЗ выколоты, а концы −1 и 4 включены.
1) Рационализация применена без выписанного ОДЗ — решение неверно, даже если ответ случайно совпал. 2) Забыли условие «основание ≠ 1» при переменном основании. 3) При переходе log_a f + log_a g = log_a(fg) потеряли часть ОДЗ (исходно нужны f > 0 и g > 0, а после — только fg > 0). 4) Знак неравенства меняют «на всякий случай» — в методе рационализации знак не меняется никогда, за него отвечает множитель (h − 1). 5) Ответ не пересечён с ОДЗ, а просто дописан рядом.
- ✓ОДЗ выписываю первой строкой и решаю до основного неравенства
- ✓Помню замену (h − 1)(f − g) и не путаю порядок скобок
- ✓Проверяю условие основание ≠ 1 для переменных оснований
- ✓Финальный ответ получаю пересечением, показывая это на числовой прямой
- ✓Проверяю крайние точки промежутков подстановкой