Задание 18: задача с параметром
Четыре рабочих метода и правило симметрии, закрывающее половину вариантов.
Задание 18 стоит 4 балла и решается менее чем 10% участников. Но структура вариантов узкая: почти всё сводится к четырём методам. Ключ — правильно выбрать плоскость, в которой рисовать.
Четыре метода
| Метод | Когда применять | Суть |
|---|---|---|
| Графический в плоскости Oxy | параметр входит линейно, легко выразить a | рисуем семейство кривых y = a или прямых и считаем пересечения |
| Графический в плоскости Oxa | уравнение легко решается относительно a | строим множество точек (x; a), горизонтальные прямые a = const |
| Аналитический через дискриминант и теорему Виета | квадратное уравнение или сводящееся к нему | условия на корни через D, сумму и произведение |
| Метод симметрии | уравнение или система симметричны относительно замены x → −x или x → c − x | если x₀ — решение, то и симметричное ему решение; из единственности следует x₀ = центр симметрии |
Метод симметрии на единственность: если левая часть уравнения f(x, a) = 0 не меняется при замене x на (2c − x), то при единственном решении обязательно x = c. Подставляем x = c, находим кандидатов на a, затем каждое найденное a проверяем подстановкой обратно — необходимое условие ещё не достаточное. Проверка обязательна, за её отсутствие снимают баллы.
оба корня больше числа m: D ≥ 0, x₀ = −b/(2a) > m, f(m) > 0; оба корня меньше m: D ≥ 0, x₀ < m, f(m) > 0; корни по разные стороны от m: f(m) < 0; оба корня на отрезке [p; q]: D ≥ 0, p < x₀ < q, f(p) ≥ 0, f(q) ≥ 0; ровно один корень на (p; q): f(p)·f(q) < 0
Найдите все значения a, при которых уравнение |x − 3| + |x + 1| = a имеет ровно одно решение. Проверим симметрию: замена x → 2 − x переводит |x − 3| в |−1 − x| = |x + 1| и |x + 1| в |3 − x| = |x − 3|. Сумма не изменилась — уравнение симметрично относительно точки x = 1. Значит при единственном решении x = 1. Подставляем: |1 − 3| + |1 + 1| = 2 + 2 = 4, то есть a = 4. Проверка: при a = 4 уравнение |x − 3| + |x + 1| = 4 выполняется на всём отрезке [−1; 3] — решений бесконечно много, а не одно. Значит a = 4 не подходит, и ответ: таких a нет. Этот пример показывает, зачем нужна проверка: необходимое условие само по себе ничего не гарантирует.
При каких a уравнение x² − 4|x| + 3 = a имеет ровно три решения? Строим y = x² − 4|x| + 3. При x ≥ 0 это парабола с вершиной (2; −1), при x < 0 — её зеркальное отражение с вершиной (−2; −1). График — «W»: две ямы на уровне −1 и локальный максимум в точке (0; 3). Горизонтальная прямая y = a даёт: 4 пересечения при −1 < a < 3; 3 пересечения при a = 3 (прямая проходит через вершину среднего пика); 2 пересечения при a > 3 и при a = −1; 0 при a < −1. Ответ: a = 3.
1) Найдены кандидаты на a, но обратная проверка не сделана — снимают 2 балла из 4. 2) Не разобран случай a = 0 в уравнении с параметром при старшем коэффициенте: ax² + bx + c при a = 0 перестаёт быть квадратным. 3) График нарисован без масштаба и без координат ключевых точек — критерий требует обоснования, а не рисунка. 4) Границы промежутков включены или исключены наугад: каждое граничное значение a нужно проверять отдельной подстановкой. 5) Ответ записан как «a > 3», хотя нужен ещё изолированный случай a = −1.
- ✓Проверил уравнение на симметрию перед началом решения
- ✓Каждое найденное значение a подставил обратно
- ✓Разобрал случай нулевого старшего коэффициента
- ✓Границы промежутков проверил отдельно
- ✓Записал ответ полностью, включая изолированные значения