Механические колебания и волны

x = A·cos(ωt + φ₀) или x = A·sin(ωt + φ₀); ω = 2π/T = 2πν; ν = 1/T; v = x′ = −Aω·sin(ωt + φ₀), vmax = Aω; a = v′ = −Aω²·cos(ωt + φ₀) = −ω²x, amax = Aω²; пружинный маятник: T = 2π√(m/k); математический маятник: T = 2π√(l/g)

полная энергия: E = kA²/2 = mv²max/2 = const; Eк = mv²/2, Eп = kx²/2, Eк + Eп = E; волна: v = λ/T = λν; λ — длина волны, расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одной фазе; звук в воздухе ≈ 340 м/с, в воде ≈ 1500 м/с, в стали ≈ 5000 м/с

Ключевое соотношение фаз: в положении равновесия смещение равно нулю, скорость максимальна, ускорение равно нулю, кинетическая энергия максимальна. В крайнем положении смещение максимально, скорость равна нулю, ускорение максимально и направлено к положению равновесия, потенциальная энергия максимальна.

Груз на пружине совершает колебания с амплитудой 5 см и периодом 0,4 с. Найдите максимальную скорость и максимальное ускорение. ω = 2π/T = 2π/0,4 = 5π ≈ 15,7 рад/с. vmax = Aω = 0,05·15,7 = 0,785 м/с. amax = Aω² = 0,05·246,7 = 12,3 м/с². Обратите внимание на перевод сантиметров в метры — без него ответ будет в 100 раз больше. Второй разбор: как изменится период математического маятника, если его длину увеличить в 4 раза? T пропорционален √l, значит период увеличится в 2 раза. Частота при этом уменьшится в 2 раза. Третий разбор: звук частотой 170 Гц в воздухе имеет длину волны λ = v/ν = 340/170 = 2 м.

1) Период математического маятника считают зависящим от массы — это не так. 2) При переходе в другую среду у волны меняется скорость и длина волны, но частота остаётся прежней: она задаётся источником. 3) В формуле vmax = Aω амплитуду подставляют в сантиметрах. 4) Путают период и частоту: T = 1/ν, а не T = ν. 5) Считают, что в крайней точке ускорение равно нулю — наоборот, там оно максимально. 6) Полную энергию колебаний считают через мгновенную скорость, а не через максимальную.