Неравенства: линейные, квадратные, метод интервалов
Главная ловушка курса — знак при делении на отрицательное — и полная схема метода интервалов.
Задание 13 части 1 — неравенство или система неравенств с ответом-номером промежутка. Задание 20 части 2 может требовать полного решения неравенства. Метод один и тот же.
При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. −2x > 6 даёт x < −3, а не x > −3. Это правило нарушают чаще всего именно тогда, когда отрицательный коэффициент возникает после переноса слагаемых.
Метод интервалов: пошагово
- Привести неравенство к виду f(x) > 0 (или ≥, <, ≤), где справа обязательно ноль. Ничего не переносить через умножение.
- Разложить f(x) на множители: линейные скобки и квадратные трёхчлены через корни.
- Отметить на прямой нули числителя (закрашенные, если знак нестрогий) и нули знаменателя (всегда выколотые).
- Определить знак на самом правом интервале подстановкой большого числа.
- Расставить знаки, меняя их при переходе через корень нечётной кратности и сохраняя при чётной.
- Выписать нужные промежутки и записать ответ в виде объединения.
D > 0: решение x < x₁ или x > x₂ (вне корней); ax² + bx + c < 0 при D > 0: x₁ < x < x₂ (между корнями); D = 0: строгое неравенство > 0 верно при всех x ≠ x₀; D < 0: > 0 верно при всех x, < 0 не имеет решений
Если a < 0, умножьте всё неравенство на −1 и поменяйте знак — тогда работает правило «между корнями / вне корней» для положительного старшего коэффициента. Мнемоника: при a > 0 парабола ветвями вверх, положительна вне корней.
Решите неравенство (x − 1)(x + 4)/(x − 3) ≤ 0. Нули числителя: 1 и −4, закрашены. Ноль знаменателя: 3, выколот. На прямой точки −4, 1, 3. При x = 10 получаем плюс. Значит знаки справа налево: +, −, +, −. Нужны минусы: (−∞; −4] и [1; 3). Обратите внимание: 3 выколота даже при нестрогом знаке. Ответ: x ∈ (−∞; −4] ∪ [1; 3). Вторая ошибка того же типа — умножить обе части на (x − 3), не зная его знака: так делать нельзя никогда.
1) Умножение неравенства на выражение с переменной — знак этого выражения неизвестен, решение недействительно. 2) Знак не поменяли при делении на отрицательный коэффициент. 3) Нули знаменателя закрасили — включили в ответ точку, где выражение не определено. 4) Ответ записали как систему вместо объединения: между двумя несвязанными промежутками должно стоять ∪, а не запятая с и. 5) В задании 13 ответом служит номер промежутка на картинке, а не сам промежуток — читайте формат.
- ✓Всегда привожу неравенство к сравнению с нулём
- ✓Меняю знак при делении на отрицательное
- ✓Нули знаменателя всегда выкалываю
- ✓Проверяю знак подстановкой числа в конечный интервал
- ✓Записываю ответ через ∪ и с правильными скобками