Функции и графики: параболы, гиперболы, прямые, чтение графика
Как за 15 секунд сопоставить формулу и график и как строить кусочные функции для задания 22.
Задания 10, 11 и 14 части 1 проверяют распознавание графиков; задание 22 части 2 — построение графика с параметром и подсчёт числа общих точек с прямой y = m. Всё держится на пяти базовых функциях.
Базовые функции
| Функция | График | Ключевые признаки |
|---|---|---|
| y = kx + b | прямая | k — наклон (k > 0 возрастает), b — точка пересечения с осью Oy |
| y = ax² + bx + c | парабола | a > 0 ветви вверх; вершина x₀ = −b/(2a); c — пересечение с Oy |
| y = k/x | гипербола | k > 0 — I и III четверти, k < 0 — II и IV; асимптоты — оси |
| y = √x | полупарабола | только x ≥ 0, y ≥ 0, возрастает |
| y = |x| | уголок | вершина в начале координат, симметрия относительно Oy |
| y = x³ | кубическая | проходит через начало, нечётная, возрастает |
Быстрый алгоритм сопоставления: 1) посмотрите на форму (прямая, парабола, гипербола); 2) определите знак старшего коэффициента по направлению ветвей или четвертям; 3) проверьте пересечение с осью Oy, подставив x = 0. Трёх признаков хватает, чтобы отсечь все варианты.
вершина: x₀ = −b/(2a), y₀ = y(x₀); ось симметрии x = x₀; нули: корни ax² + bx + c = 0; пересечение с Oy: точка (0; c); при a > 0 наименьшее значение y₀; при a < 0 — наибольшее
Постройте график функции y = (x² − 4x)/(x − 4) и определите, при каких m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку. Упрощаем: числитель x(x − 4), сокращаем на (x − 4): получаем y = x, но с обязательным ограничением x ≠ 4. То есть график — прямая y = x с выколотой точкой (4; 4). Прямая y = m пересекает прямую y = x ровно в одной точке при любом m, кроме m = 4: при m = 4 точка пересечения выколота и общих точек нет. Ответ: m — любое число, кроме 4; ровно одна общая точка при m ≠ 4. Формулировка вопроса бывает обратной: «при каких m прямая не имеет общих точек» — тогда ответ m = 4. Читайте вопрос дословно.
1) Сократили дробь и забыли выколоть точку — потеря 2 баллов из 2, потому что вся задача именно про эту точку. 2) Ордината выколотой точки берётся из упрощённой функции, а не из исходной: подставлять x = 4 нужно в y = x. 3) График нарисован без масштаба и подписей осей — эксперт может не засчитать. 4) В задании 11 (соответствие графиков и формул) путают знак k у гиперболы. 5) Для кусочной функции забывают отметить, какие концы кусков закрашены.
- ✓Знаю форму всех шести базовых графиков
- ✓Нахожу вершину параболы по формуле −b/(2a), а не подбором
- ✓При сокращении дроби всегда проверяю, не появилась ли выколотая точка
- ✓Подписываю оси, единичный отрезок и координаты ключевых точек
- ✓Отвечаю ровно на тот вопрос, который задан: одна точка, ни одной или две