Числа и вычисления: дроби, степени, проценты, стандартный вид
Арифметический фундамент, на котором держатся задания 6, 7 и весь практический модуль.
Задание 6 — вычисление значения числового выражения. Здесь нет теории, есть только техника: порядок действий, работа с дробями и умение не потерять знак. Именно это задание чаще всего решают неверно из-за спешки.
a/b + c/d = (a·d + c·b)/(b·d); a/b · c/d = (a·c)/(b·d); (a/b) : (c/d) = (a·d)/(b·c); a^m · a^n = a^(m+n); a^m : a^n = a^(m−n); (a^m)^n = a^(m·n); a^(−n) = 1/a^n; a^0 = 1 при a ≠ 0
Порядок действий: скобки → степени и корни → умножение и деление слева направо → сложение и вычитание слева направо. Деление и умножение равноправны: 12 : 3 · 2 = 8, а не 2.
Проценты и доли — перевод без калькулятора
| Формулировка | Действие | Формула |
|---|---|---|
| Найти p% от числа a | умножить | a · p/100 |
| Число a — это p% от x | разделить | x = a · 100/p |
| Увеличить a на p% | множитель | a · (1 + p/100) |
| Уменьшить a на p% | множитель | a · (1 − p/100) |
| На сколько % b больше a | разность к базе a | (b − a)/a · 100% |
| Два подорожания подряд на p% и q% | перемножить множители | a · (1+p/100) · (1+q/100) |
Стандартный вид числа: a · 10^n, где 1 ≤ a < 10, n целое. 0,00045 = 4,5 · 10^(−4); 32 000 = 3,2 · 10^4. При умножении показатели складывают, при делении вычитают.
Найдите значение выражения (0,3 · 10^(−2)) · (6 · 10^5). Считаем мантиссы: 0,3 · 6 = 1,8. Считаем степени: 10^(−2) · 10^5 = 10^3. Получаем 1,8 · 10^3 = 1800. В бланк идёт 1800, а не 1,8·10^3 — в бланке нельзя записать степень. Второй разбор: цена выросла на 20%, потом упала на 20%. Итог: 1,2 · 0,8 = 0,96, то есть цена стала на 4% ниже исходной. Ответ «вернулась к исходной» — самая частая ошибка на процентах.
1) Минус перед скобкой: −(3 − 7) = 4, а не −4. Раскрывая скобку с минусом, меняйте знак каждого слагаемого. 2) Проценты считают от разной базы: «на сколько процентов A больше B» и «на сколько процентов B меньше A» дают разные числа. 3) Сокращение дроби «по слагаемым»: (4 + 6)/2 нельзя сократить как 4/2 + 6 = 8; сокращать можно только множители. 4) Смешанное число 2⅓ в бланк пишут как 2,333… — значит, задача решена неверно: в части 1 такого ответа не бывает.
- ✓Складываю дроби только через общий знаменатель, не складываю числители и знаменатели
- ✓Помню, что деление на дробь — умножение на перевёрнутую
- ✓Проверяю знак результата отдельно от модуля
- ✓Умею мгновенно переводить 0,25 = 1/4, 0,125 = 1/8, 0,2 = 1/5, 0,75 = 3/4
- ✓Не забываю, что процент от процента — это произведение множителей, а не сумма