Степени и корни: преобразование иррациональных выражений
Как за минуту упростить выражение с корнями и не нарушить условие неотрицательности.
Задание 8 части 1 и часть задания 20 строятся на свойствах арифметического квадратного корня. Ключ — понимать, что √a определён только при a ≥ 0 и сам всегда неотрицателен.
√(a·b) = √a · √b (a ≥ 0, b ≥ 0); √(a/b) = √a/√b (a ≥ 0, b > 0); (√a)² = a (a ≥ 0); √(a²) = |a| (для любого a); a√b = √(a²·b) при a ≥ 0; 1/√a = √a/a
√(a²) = |a|, а не a. Это главное различие, на котором строят задания-ловушки. Если известно, что a < 0, то √(a²) = −a.
Типовые приёмы
| Задача | Приём | Пример |
|---|---|---|
| Вынести множитель | разложить на квадрат и остаток | √72 = √(36·2) = 6√2 |
| Внести множитель | возвести в квадрат | 3√5 = √45 |
| Избавиться от корня в знаменателе | домножить на сопряжённое | 2/(√5 − 1) = 2(√5+1)/4 = (√5+1)/2 |
| Упростить разность квадратов | формула (a−b)(a+b) | (√7 − √3)(√7 + √3) = 7 − 3 = 4 |
| Свернуть под корнем | полный квадрат | √(6 − 2√5) = √((√5 − 1)²) = √5 − 1 |
Что нужно знать наизусть
- Квадраты чисел от 1 до 25: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625. Без них вынесение множителя из-под корня превращается в перебор.
- Приближённые значения: √2 ≈ 1,41; √3 ≈ 1,73; √5 ≈ 2,24; √6 ≈ 2,45; √7 ≈ 2,65; √10 ≈ 3,16. Нужны для сравнения иррациональных чисел и раскрытия модуля.
- Сравнение корней: чтобы сравнить 3√5 и 5√2, вносим множители под корень: √45 и √50, значит 3√5 < 5√2.
- Куб и корень третьей степени: ∛8 = 2, ∛27 = 3, ∛64 = 4, ∛125 = 5. Корень нечётной степени определён и для отрицательных чисел: ∛(−8) = −2.
- Степень с дробным показателем: a^(1/2) = √a, a^(1/3) = ∛a, a^(3/2) = √(a³) — встречается в заданиях на преобразование выражений.
Найдите значение выражения (√18 · √8)/√4. Не считайте корни по отдельности в десятичных — это гарантированная потеря точности. Объединяем: √18 · √8 = √144 = 12. Делим: 12/2 = 6. Ответ 6. Второй разбор: упростите √(11 − 6√2). Ищем представление в виде (a − b)²: нужно a² + b² = 11 и 2ab = 6√2, то есть ab = 3√2. Подходят a = 3, b = √2: 9 + 2 = 11. Значит √(11 − 6√2) = |3 − √2| = 3 − √2, поскольку 3 > √2.
1) Записали √((√5 − 3)²) = √5 − 3. Неверно: √5 ≈ 2,24 < 3, значит модуль раскрывается со сменой знака: 3 − √5. Всегда сравнивайте подкоренное с числом. 2) √(a + b) ≠ √a + √b — свойство работает только для произведения и частного. 3) В части 1 ответ вида 3√2 записать в бланк нельзя. Если получился иррациональный ответ, задача либо требует численного значения, либо решена с ошибкой. 4) При домножении на сопряжённое забывают домножить и числитель тоже.
- ✓Пишу √(a²) = |a| автоматически, а не a
- ✓Перед раскрытием модуля сравниваю подкоренное число с целым
- ✓Не разбиваю корень суммы на сумму корней
- ✓Умею вынести множитель из-под корня за 5 секунд для чисел до 200
- ✓Проверяю ответ подстановкой приближённого значения корня