Уравнения: линейные, квадратные, дробно-рациональные, биквадратные
Полный набор методов решения уравнений уровня ОГЭ и правила отсева посторонних корней.
Задание 9 части 1 и первый тип задания 20 — это уравнение. Оцениваются не идеи, а безошибочная техника и грамотный отсев корней.
D = b² − 4ac; x = (−b ± √D)/(2a); D > 0 — два корня, D = 0 — один корень x = −b/(2a), D < 0 — корней нет; теорема Виета для x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q; при чётном b = 2k: D₁ = k² − ac, x = (−k ± √D₁)/a
Тип уравнения и метод
| Тип | Метод | Что проверить |
|---|---|---|
| ax + b = 0 | перенос и деление | a ≠ 0; если a = 0 — особый разбор |
| ax² + bx + c = 0 | дискриминант или Виет | знак D |
| Неполное ax² + bx = 0 | вынести x за скобку | корень x = 0 не терять |
| Неполное ax² + c = 0 | x² = −c/a | решений нет, если −c/a < 0 |
| Дробно-рациональное | общий знаменатель, числитель = 0 | знаменатель ≠ 0, отсев корней |
| Биквадратное ax⁴+bx²+c=0 | замена t = x², t ≥ 0 | отбросить отрицательные t |
| Разложение на множители | произведение = 0 | каждый множитель приравнять к нулю |
| С модулем | раскрытие по случаям | проверка попадания в интервал |
Дробно-рациональное уравнение равносильно системе: числитель = 0 И знаменатель ≠ 0. Умножение обеих частей на выражение с переменной без записи ОДЗ — приобретение посторонних корней. Деление обеих частей на выражение с переменной — потеря корней.
Решите уравнение (x² − 9)/(x − 3) = 0. Формально числитель равен нулю при x = 3 и x = −3. Но ОДЗ: x ≠ 3. Значит корень только x = −3. Тот, кто сократил дробь до x + 3 и написал x = −3, случайно получил верный ответ, но на задании 20 без записи ОДЗ балл снижают. Второй разбор: x⁴ − 5x² + 4 = 0. Замена t = x², t ≥ 0. Получаем t² − 5t + 4 = 0, по Виету t₁ = 1, t₂ = 4. Обратная замена: x² = 1 даёт x = ±1, x² = 4 даёт x = ±2. Четыре корня: −2, −1, 1, 2. Ошибка — забыть отрицательные значения x. Третий разбор: x(x − 4) = 0 решается устно, но x² = 4x нельзя делить на x — потеряется корень x = 0.
1) Деление на x при решении x³ = 9x: теряется корень x = 0, ответ становится неполным. 2) В биквадратном уравнении оставили отрицательное t. 3) При возведении в квадрат уравнения с корнем не сделали проверку — посторонний корень остался в ответе. 4) Дискриминант посчитан с ошибкой знака: в D = b² − 4ac при c < 0 получается плюс. 5) Ответ записали как «x = 2; 3», хотя в бланк части 1 идёт одно число — читайте, какой именно корень требуется (например, «наибольший корень»).
- ✓Никогда не делю уравнение на выражение с переменной без разбора случая, когда оно равно нулю
- ✓После решения дробного уравнения сверяю корни с ОДЗ
- ✓В биквадратном отбрасываю отрицательные t
- ✓Проверяю корни подстановкой хотя бы в одном уравнении из части 2
- ✓Читаю, какой корень требуется в ответ: наибольший, наименьший, сумма