Геометрия·9 класскод 7.4·11 мин

Тригонометрия в треугольнике: синус, косинус, теоремы синусов и косинусов

Определения тригонометрических функций острого угла, таблица значений и две теоремы, закрывающие любой треугольник.

Тригонометрия в девятом классе решает одну задачу: найти неизвестную сторону или угол в треугольнике. Для прямоугольного хватает определений синуса, косинуса и тангенса; для произвольного нужны теоремы синусов и косинусов. Всё остальное — вспомогательное.

Определения для острого угла прямоугольного треугольника

sin α = противолежащий катет / гипотенуза; cos α = прилежащий катет / гипотенуза; tg α = противолежащий катет / прилежащий катет = sin α / cos α. Основное тождество: sin²α + cos²α = 1. Для острых углов: sin α = cos(90° − α), tg α · tg(90° − α) = 1.

Прямоугольный треугольник: кто есть кто

Прямоугольный треугольник с острым углом α

Гипотенузасторона против прямого угла, всегда самая длинная

Противолежащий катеткатет напротив угла α — числитель синуса

Прилежащий катеткатет, образующий угол α вместе с гипотенузой, — числитель косинуса

Высота из прямого угладелит треугольник на два подобных исходному, h = a·b/c

Медиана к гипотенузеравна половине гипотенузы и радиусу описанной окружности

Правильное определение катетов относительно угла — половина успеха; переставленные катеты дают неверный ответ при формально верной формуле.

Значения, которые нужно знать наизусть

Угол	sin	cos	tg
30°	1/2	√3/2	1/√3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	не определён
120°	√3/2	−1/2	−√3
150°	1/2	−√3/2	−1/√3

Теорема синусов

В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R, где R — радиус описанной окружности. Применяется, когда известны сторона и два угла или две стороны и угол, противолежащий одной из них.

Теорема косинусов

В любом треугольнике c² = a² + b² − 2ab·cos C. Применяется, когда известны две стороны и угол между ними (ищем третью сторону) или три стороны (ищем угол). При C = 90° косинус равен нулю и формула превращается в теорему Пифагора.

Теорема косинусов по частям

c²квадрат искомой стороны, лежащей против угла C

= a² + b²сумма квадратов двух других сторон

− 2abпоправка: удвоенное произведение этих сторон

· cos Cкосинус угла между сторонами a и b; для тупого угла он отрицателен и c² становится больше a² + b²

Знак минус перед последним слагаемым постоянен; знак результата меняет сам косинус, который отрицателен для тупого угла.

Какую теорему выбрать

Треугольник прямоугольный?

тогда достаточно теоремы Пифагора и определений sin, cos, tg

Даны две стороны и угол между ними

теорема косинусов — ищем третью сторону

Даны три стороны

теорема косинусов, выраженная через косинус: cos C = (a² + b² − c²)/(2ab)

Даны сторона и два угла

третий угол через сумму 180°, затем теорема синусов

Нужен радиус описанной окружности

теорема синусов в форме a / sin A = 2R

Схема выбора инструмента по набору известных элементов треугольника.

ОГЭ, задание 25 (вычисление с обоснованием)

Условие. В треугольнике ABC известно, что AB = 8, BC = 5, угол B равен 120°. Найдите сторону AC. Решение. 1) Сторона AC лежит против угла B, а стороны AB и BC заключают этот угол, поэтому применима теорема косинусов. 2) AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos B = 8² + 5² − 2·8·5·cos 120°. 3) cos 120° = −0,5, значит AC² = 64 + 25 − 80 · (−0,5) = 89 + 40 = 129. 4) AC = √129. Ответ: √129. Проверка правдоподобия: угол тупой, поэтому AC должна быть больше каждой из сторон 8 и 5, и действительно √129 ≈ 11,4.

Что ломает решение

Первое: при тупом угле берут cos положительным — ответ получается заниженным, балл снимается. Второе: теорему синусов применяют, когда угол не противолежит известной стороне. Третье: при вычислении угла через теорему синусов забывают, что синус не различает острый и тупой угол, и не разбирают второй случай. Четвёртое: определения синуса и косинуса применяют в непрямоугольном треугольнике. Пятое: ответ округляют, когда в условии требуется точное значение с корнем.

Перед записью ответа

✓Проверено, прямоугольный ли треугольник, прежде чем использовать определения sin и cos.
✓Угол в теореме косинусов заключён именно между использованными сторонами.
✓Для тупого угла косинус взят со знаком минус.
✓Если угол найден через синус, разобран случай тупого угла.
✓Сумма углов треугольника в проверке даёт 180°.
✓Ответ дан в точной форме, если округление не требуется условием.

← Площади фигур и отношения площадей Координаты, векторы и задачи на клетчатой бумаге →