Четырёхугольники: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция
Свойства и признаки всех школьных четырёхугольников с чётким разделением: что дано, что доказывается и на что можно ссылаться.
Главная ошибка на ОГЭ — путать свойство и признак. Свойство отвечает на вопрос «что следует из того, что фигура — параллелограмм», признак — «что достаточно проверить, чтобы назвать фигуру параллелограммом». В заданиях 24-25 подмена одного другим приводит к нулю.
Свойства и признаки: сравнение
| Фигура | Ключевое свойство | Признак (достаточное условие) |
|---|---|---|
| Параллелограмм | Противоположные стороны и углы равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам; сумма соседних углов 180° | Две стороны равны и параллельны; или обе пары противоположных сторон равны; или диагонали делятся пополам точкой пересечения |
| Прямоугольник | Диагонали равны и делятся пополам | Параллелограмм с равными диагоналями или с одним прямым углом |
| Ромб | Диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов | Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями или с двумя равными соседними сторонами |
| Равнобедренная трапеция | Углы при каждом основании равны, диагонали равны | Трапеция с равными углами при основании или с равными диагоналями |
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполнено хотя бы одно: 1) противоположные стороны попарно параллельны; 2) противоположные стороны попарно равны; 3) две противоположные стороны равны и параллельны; 4) диагонали точкой пересечения делятся пополам; 5) противоположные углы попарно равны.
- ·Все стороны равны
- ·Диагонали взаимно перпендикулярны
- ·Диагонали — биссектрисы углов
- ·Диагонали, вообще говоря, не равны
- ·S = ½ · d1 · d2
- ·Все углы прямые
- ·Диагонали равны
- ·Диагонали, вообще говоря, не перпендикулярны
- ·Центр описанной окружности — точка пересечения диагоналей
- ·S = a · b
Средняя линия: m = (a + b)/2, где a и b — основания; средняя линия параллельна основаниям. Площадь: S = (a + b)/2 · h = m · h. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен |a − b|/2.
Факты о трапеции, которые чаще всего нужны на ОГЭ
- Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника; треугольники при основаниях подобны, а два боковых равновелики.
- Точка пересечения диагоналей делит их в отношении оснований.
- В равнобедренную трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.
- Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная.
- Высота равнобедренной трапеции, опущенная из вершины меньшего основания, отсекает на большем основании отрезок (a − b)/2.
Условие. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Докажите, что треугольник ABK равнобедренный. Решение. 1) BC ∥ AD, так как ABCD — параллелограмм (по определению противоположные стороны параллельны). 2) AK — секущая для параллельных прямых BC и AD, поэтому ∠BKA = ∠KAD как накрест лежащие углы. 3) AK — биссектриса угла A, значит ∠BAK = ∠KAD (по определению биссектрисы). 4) Из пунктов 2 и 3 получаем ∠BAK = ∠BKA. 5) В треугольнике ABK два угла равны, значит по признаку равнобедренного треугольника он равнобедренный и AB = BK. Что и требовалось доказать.
Первое: использование свойства вместо признака — «диагонали делятся пополам, значит это ромб» неверно, отсюда следует только параллелограмм. Второе: в трапеции применяют равенство углов при основании, не оговорив, что трапеция равнобедренная. Третье: в задаче про вписанную окружность забывают условие a + b = c + d для сторон четырёхугольника. Четвёртое: чертёж нарисован «слишком правильным» (параллелограмм получился похожим на прямоугольник) и из него делают выводы, которых нет в условии, — это считается необоснованным переходом.
- ✓Различаю формулировки «свойство» и «признак» и ссылаюсь на нужную.
- ✓Чертёж не вырожденный: параллелограмм не похож на прямоугольник, трапеция не похожа на параллелограмм.
- ✓Проверено, дана ли равнобедренность трапеции, прежде чем использовать равенство углов и диагоналей.
- ✓Все параллельности в доказательстве обоснованы, а не взяты с рисунка.
- ✓Для площади выбрана формула, соответствующая известным данным.