Треугольники: равенство, подобие, замечательные линии и точки
Полный минимум фактов о треугольнике, на которые обязательно нужно сослаться в заданиях 15-17 и 24-26 ОГЭ, чтобы решение засчитали.
Треугольник даёт примерно половину геометрических баллов ОГЭ: задания 15-17 с кратким ответом и задания 24-26 с развёрнутым. Эксперт проверяет не ответ, а цепочку обоснований, поэтому здесь собраны формулировки теорем в том виде, в котором на них нужно ссылаться.
Сумма углов треугольника равна 180°. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Против большей стороны лежит больший угол, и обратно — против большего угла лежит большая сторона. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают.
Признаки равенства треугольников (формулировки для ссылки)
- Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.
- Второй признак: по стороне и двум прилежащим к ней углам.
- Третий признак: по трём сторонам.
- Для прямоугольных дополнительно: по гипотенузе и катету; по гипотенузе и острому углу; по катету и острому углу.
- Из равенства треугольников следует равенство всех соответственных элементов — это и есть шаг, который приносит балл.
Первый признак: по двум углам. Второй признак: по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними. Третий признак: по трём пропорциональным сторонам. Если коэффициент подобия равен k, то все линейные элементы (стороны, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы, периметр) относятся как k, а площади — как k².
c² = a² + b², где c — гипотенуза. Если h — высота, проведённая к гипотенузе, а ac и bc — проекции катетов на гипотенузу, то h² = ac · bc, a² = c · ac, b² = c · bc, h = a·b / c. Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы: m = c/2.
Условие. В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Докажите, что треугольник MBN подобен треугольнику ABC, и найдите коэффициент подобия. Решение. 1) По условию BM = ½·AB и BN = ½·BC, значит BM/BA = BN/BC = ½. 2) Угол B — общий для треугольников MBN и ABC. 3) Треугольники MBN и ABC подобны по второму признаку подобия: две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, и углы между этими сторонами равны. 4) Коэффициент подобия k = BM/BA = ½. Что и требовалось доказать. Ответ: k = 0,5.
Первое: вывод «стороны пропорциональны, значит треугольники подобны» без указания признака и без равенства угла между этими сторонами — доказательство считается необоснованным, ставится 0 баллов. Второе: нет чертежа — решение не проверяется. Третье: в задачах про высоту и ортоцентр не разобран случай тупоугольного треугольника, где основание высоты попадает на продолжение стороны, — балл снимается за неполный разбор случаев. Четвёртое: подобие записано с перепутанным порядком вершин, из-за чего отношение сторон составлено неверно.
- ✓Чертёж сделан, все точки из условия на нём подписаны.
- ✓Каждый переход опирается на названную теорему, признак или определение.
- ✓Признак равенства или подобия назван словами, а не номером «по первому».
- ✓Проверено, нужен ли разбор случая тупоугольного треугольника.
- ✓В записи подобия вершины стоят в соответственном порядке.
- ✓Записана фраза «что и требовалось доказать» и отдельно — числовой ответ, если он требуется.