Окружность: вписанные и центральные углы, касательные, хорды
Углы окружности, метрические соотношения хорд и секущих и условия вписанности — база для заданий 16 и 26 ОГЭ.
Почти каждая задача про окружность на ОГЭ решается одной из четырёх идей: вписанный угол равен половине центрального, угол между касательной и хордой равен вписанному, радиус в точку касания перпендикулярен касательной, произведения отрезков хорд равны. Остальное — арифметика.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен половине градусной меры этой дуги. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Угол между касательной и хордой равен половине заключённой в нём дуги, то есть равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.
Свойства касательных и хорд
- Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
- Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, а центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.
- Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам; и обратно — диаметр, делящий хорду пополам, ей перпендикулярен (если хорда не диаметр).
- Равные хорды равноудалены от центра; чем ближе хорда к центру, тем она длиннее.
- Расстояние от центра до хорды: d = √(R² − (a/2)²), где a — длина хорды.
Пересекающиеся хорды AB и CD в точке P: AP · PB = CP · PD. Касательная MT и секущая, пересекающая окружность в A и B, из точки M: MT² = MA · MB. Две секущие из M: MA · MB = MC · MD. Длина окружности C = 2πR, длина дуги в n градусов: l = πRn/180.
- ·Центр — точка пересечения биссектрис
- ·Касается всех трёх сторон
- ·Центр всегда внутри треугольника
- ·S = p · r, где p — полупериметр
- ·Для прямоугольного: r = (a + b − c)/2
- ·Центр — точка пересечения серединных перпендикуляров
- ·Проходит через все три вершины
- ·У тупоугольного центр лежит вне треугольника
- ·R = a·b·c / (4S)
- ·Для прямоугольного: R = c/2, центр — середина гипотенузы
Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180°. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны: a + c = b + d.
Быстрые формулы для треугольника и окружности
| Формула | Что позволяет найти |
|---|---|
| S = p · r | радиус вписанной окружности через площадь и полупериметр |
| R = abc / (4S) | радиус описанной окружности через стороны и площадь |
| a / sin A = 2R | радиус описанной окружности через сторону и противолежащий угол |
| r = (a + b − c)/2 | радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника |
| l = πRn/180 | длину дуги в n градусов |
Условие. Точки A и B делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 5 : 7. Найдите величину вписанного угла, опирающегося на меньшую из этих дуг. Решение. 1) Сумма градусных мер дуг всей окружности равна 360°. 2) Пусть дуги равны 5x и 7x, тогда 5x + 7x = 360, откуда 12x = 360 и x = 30. 3) Меньшая дуга равна 5 · 30 = 150°. 4) По теореме о вписанном угле он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается: 150° : 2 = 75°. Ответ: 75.
Первое: вписанный угол приравнивают к дуге, а не к её половине, — самая частая арифметическая потеря в задании 16. Второе: в задании 26 из чертежа берут, что точка лежит на окружности или что прямая касательная, хотя в условии этого нет, — необоснованный переход, ноль баллов. Третье: не рассмотрен второй случай, когда точка лежит на другой дуге и угол становится смежным (180° минус найденный). Четвёртое: в ответ записывают величину дуги вместо величины угла.
- ✓Все радиусы, идущие в точки касания, проведены и перпендикулярность обоснована.
- ✓Проверено, вписанный угол или центральный требуется в ответе.
- ✓Рассмотрены оба положения точки относительно хорды, если условие это допускает.
- ✓Сумма дуг в проверке даёт ровно 360°.
- ✓Для вписанного четырёхугольника проверено условие 180°, для описанного — равенство сумм сторон.