Площади фигур и отношения площадей
Все школьные формулы площади, приёмы подсчёта на клетчатой бумаге и правило отношения площадей подобных фигур.
Площадь на ОГЭ встречается дважды: как прямое вычисление в заданиях 15-17 и как инструмент в задании 26, где отношение площадей заменяет громоздкие вычисления. Формул немного, но их нужно знать наизусть — справочных материалов по геометрии на экзамене нет.
Треугольник: S = ½·a·h = ½·a·b·sin γ = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) = p·r = abc/(4R). Параллелограмм: S = a·h = a·b·sin α. Ромб: S = ½·d1·d2. Прямоугольник: S = a·b. Трапеция: S = (a + b)/2 · h. Круг: S = πR². Сектор в n градусов: S = πR²n/360.
Какую формулу выбрать по данным
| Что дано | Формула | Фигура |
|---|---|---|
| Сторона и высота к ней | S = ½·a·h | треугольник |
| Две стороны и угол между ними | S = ½·a·b·sin γ | треугольник |
| Три стороны | формула Герона | треугольник |
| Стороны и радиус вписанной окружности | S = p·r | любой описанный многоугольник |
| Диагонали и их перпендикулярность | S = ½·d1·d2 | ромб, квадрат |
| Основания и высота | S = (a + b)/2 · h | трапеция |
Если треугольники подобны с коэффициентом k, их площади относятся как k². Если у треугольников общая высота, площади относятся как основания. Если у треугольников равны углы (или углы дополняют друг друга до 180°), площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы. Медиана делит треугольник на два равновеликих.
- ·Треугольники опираются на одну прямую
- ·S1 : S2 = a1 : a2 (отношение оснований)
- ·Медиана делит площадь пополам
- ·Работает, даже если треугольники не подобны
- ·Нужно доказать подобие и найти k
- ·S1 : S2 = k²
- ·Периметры и высоты относятся как k
- ·Позволяет находить сторону по площади
S круга = πR². Длина окружности C = 2πR. Площадь сектора с углом n градусов: S = πR²·n/360. Площадь кольца между окружностями радиусов R и r: S = π(R² − r²). Площадь правильного n-угольника: S = ½·P·r, где r — радиус вписанной окружности.
Условие. Основания трапеции равны 3 и 7, а высота равна 4. Найдите площадь трапеции. Решение. 1) Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = (a + b)/2 · h. 2) Подставляем: S = (3 + 7)/2 · 4 = 5 · 4 = 20. Ответ: 20. Вариант того же задания с подобием (уровень задания 26). Диагонали трапеции с основаниями 3 и 7 пересекаются в точке P. Площадь треугольника при меньшем основании равна 9. Найдите площадь треугольника при большем основании. Треугольники подобны по двум углам (накрест лежащие при параллельных основаниях), k = 3/7, значит отношение площадей равно (3/7)² = 9/49, откуда искомая площадь равна 9 · 49/9 = 49.
Первое: отношение площадей подобных фигур берут равным k, а не k² — теряется весь пункт б задания 26. Второе: в формуле S = ½·a·b·sin γ берут не тот угол, а угол, не заключённый между указанными сторонами. Третье: высоту трапеции путают с боковой стороной. Четвёртое: в задачах на клетчатой бумаге забывают, что сторона клетки равна 1, и отвечают в клетках, а не в единицах площади. Пятое: площадь сектора считают как площадь круга, забыв множитель n/360.
- ✓Высота проведена именно к той стороне, длина которой используется.
- ✓Угол в формуле с синусом заключён между выбранными сторонами.
- ✓Отношение площадей подобных фигур возведено в квадрат.
- ✓Для сектора учтена доля n/360.
- ✓Ответ записан числом в требуемых единицах, π при необходимости оставлено или заменено значением по условию.