Окружность: касательная, хорда, центральные и вписанные углы, вписанная и описанная окружности

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания; верно и обратное. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следствия: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), прямой и равен 90°.

∠вписанный = ½·∠центральный = ½·(дуга, в градусах). Полная окружность — 360°. Угол между касательной и хордой равен половине заключённой дуги. Длина окружности C = 2πR, площадь круга S = πR², где R в см, площадь в см².

Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения его биссектрис; она касается всех трёх сторон. Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам; она проходит через все три вершины. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность, притом единственные. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы, а R = c : 2.

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.

Условие: точки A и B лежат на окружности с центром O, центральный угол ∠AOB = 116°, точка C — на большей дуге AB. Найти вписанный угол ∠ACB, а также угол ∠OAB. Дополнительно: в четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, ∠A = 74°; найти ∠C. Решение: вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: ∠ACB = 116° : 2 = 58°. Треугольник AOB равнобедренный, так как OA = OB — радиусы, значит ∠OAB = ∠OBA = (180° − 116°) : 2 = 64° : 2 = 32°. Для вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°, поэтому ∠C = 180° − 74° = 106°. Ответ: ∠ACB = 58°, ∠OAB = 32°, ∠C = 106°.

Центральный угол считают равным вписанному или, наоборот, удваивают вписанный, когда надо было делить пополам. Правило одно: центральный больше, вписанный вдвое меньше. Вторая ошибка — брать не ту дугу: если вершина вписанного угла лежит на меньшей дуге, угол опирается на большую дугу, и её мера равна 360° минус меньшая. Третья ошибка — считать, что около любого четырёхугольника можно описать окружность; для параллелограмма это возможно только если он прямоугольник.