Подобные треугольники: признаки подобия, коэффициент подобия, отношение площадей
Подобные треугольники имеют равные углы и пропорциональные стороны, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия.
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны. Сходственными называются стороны, лежащие против равных углов. Число k, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия. Запись: ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁.
- ·Углы равны
- ·Стороны равны
- ·Коэффициент k = 1
- ·Площади равны
- ·Совмещаются наложением
- ·Углы равны
- ·Стороны пропорциональны
- ·Коэффициент k любой положительный
- ·Площади относятся как k²
- ·Одна фигура — увеличенная копия другой
Первый признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. Второй признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны. Третий признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.
k = AB : A₁B₁ = BC : B₁C₁ = CA : C₁A₁. Периметры: P : P₁ = k. Медианы, биссектрисы, высоты: относятся как k. Площади: S : S₁ = k².
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Отношение периметров, а также любых сходственных отрезков (медиан, высот, биссектрис, радиусов вписанной и описанной окружностей) равно самому коэффициенту подобия.
Как меняются величины при подобии с коэффициентом k
| Величина | Множитель | Пример при k = 2 |
|---|---|---|
| Сторона | k | 5 см становится 10 см |
| Периметр | k | 18 см становится 36 см |
| Высота, медиана, биссектриса | k | 4 см становится 8 см |
| Угол | 1 | 40° остаётся 40° |
| Площадь | k² | 12 см² становится 48 см² |
Условие: в треугольнике ABC точка D лежит на AB, точка E на AC, причём DE ∥ BC. Известно: AD = 6 см, DB = 4 см, DE = 9 см, площадь ΔADE равна 27 см². Найти BC и площадь ΔABC. Решение: так как DE ∥ BC, то ∠ADE = ∠ABC как соответственные углы, а ∠A общий, значит ΔADE ∼ ΔABC по первому признаку. Сторона AB = AD + DB = 6 + 4 = 10 см. Коэффициент подобия k = AB : AD = 10 : 6 = 5 : 3. Тогда BC = DE · k = 9 · 5 : 3 = 15 см. Площади: S(ABC) : S(ADE) = k² = 25 : 9, значит S(ABC) = 27 · 25 : 9 = 3 · 25 = 75 см². Ответ: BC = 15 см, S(ABC) = 75 см².
Отношение площадей берут равным k вместо k². Если стороны увеличились в 3 раза, площадь увеличивается в 9 раз, а не в 3. Обратная ошибка: находя коэффициент по площадям, забывают извлечь корень — если площади относятся как 16 : 1, то k = 4, а не 16. Третья ошибка — составлять пропорцию, не сопоставив вершины: сходственные стороны лежат против равных углов, а не просто «слева и слева».
- ✓Указан конкретный признак подобия
- ✓Вершины сопоставлены и записаны в правильном порядке
- ✓Пропорция составлена из сходственных сторон
- ✓Для площадей использован k², для отрезков и периметра — k
- ✓Ответ в нужных единицах: см для длин, см² для площадей