Средняя линия треугольника и трапеции, пропорциональные отрезки. Синус, косинус и тангенс острого угла
Средняя линия параллельна основанию и равна его половине (для трапеции — полусумме оснований), а синус, косинус и тангенс задают отношения сторон прямоугольного треугольника.
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине. Три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника, каждый из которых подобен исходному с коэффициентом ½.
Треугольник: m = a : 2, где a — третья сторона в см. Трапеция: m = (a + b) : 2, где a и b — основания в см. Площадь трапеции через среднюю линию: S = m·h, где h — высота в см.
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон; она параллельна основаниям и равна их полусумме. Теорема Фалеса: если параллельные прямые отсекают на одной секущей равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на любой другой секущей. Обобщённая теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.
- ·Соединяет середины двух сторон
- ·Параллельна третьей стороне
- ·m = a : 2
- ·При a = 14 см получаем m = 7 см
- ·Средних линий три
- ·Соединяет середины боковых сторон
- ·Параллельна обоим основаниям
- ·m = (a + b) : 2
- ·При a = 14 см и b = 6 см получаем m = 10 см
- ·Средняя линия одна
Значения для углов 30°, 45°, 60°
| Угол | sin | cos | tg |
|---|---|---|---|
| 30° | ½ | √3 : 2 | √3 : 3 |
| 45° | √2 : 2 | √2 : 2 | 1 |
| 60° | √3 : 2 | ½ | √3 |
Синус и косинус острого угла больше нуля и меньше единицы. Если α + β = 90°, то sin α = cos β и cos α = sin β. Отношения зависят только от величины угла и не зависят от размеров треугольника — это прямое следствие подобия.
Условие: в прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, катет BC = 6 см, гипотенуза AB = 10 см. Найти AC, sin A, cos A, tg A, а также среднюю линию, параллельную BC. Решение: по теореме Пифагора AC² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, значит AC = 8 см. Угол A: противолежащий катет BC = 6 см, прилежащий AC = 8 см, гипотенуза 10 см. Тогда sin A = 6 : 10 = 0,6; cos A = 8 : 10 = 0,8; tg A = 6 : 8 = 0,75. Проверка тождества: 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1. Средняя линия, параллельная BC, равна 6 : 2 = 3 см. Ответ: AC = 8 см, sin A = 0,6; cos A = 0,8; tg A = 0,75; средняя линия 3 см.
Катеты путают местами: для угла A противолежащим является катет BC, а не AC. Правило простое — противолежащий катет не касается вершины рассматриваемого угла. Вторая ошибка — для трапеции применяют формулу треугольника и пишут m = a : 2, потеряв второе основание. Третья ошибка — брать sin больше 1: если получилось значение больше единицы, значит перепутаны катет и гипотенуза.
- ✓Концы средней линии — именно середины сторон
- ✓Для трапеции взята полусумма обоих оснований
- ✓Противолежащий катет определён относительно нужного угла
- ✓Значения sin и cos лежат строго между 0 и 1
- ✓Проверено тождество sin²α + cos²α = 1
- ✓Длины записаны в см