Четырёхугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойства: противоположные стороны равны; противоположные углы равны; сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°; диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполнено хотя бы одно из условий: противоположные стороны попарно равны; две противоположные стороны равны и параллельны; диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие не параллельны (боковые стороны). Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны; у неё углы при каждом основании равны, а диагонали равны. Трапеция называется прямоугольной, если одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Сумма углов любого четырёхугольника равна 360°. Для параллелограмма: ∠A + ∠B = 180° для соседних углов и ∠A = ∠C. Периметр параллелограмма: P = 2(a + b), где a и b — соседние стороны в см. Периметр ромба: P = 4a.

Условие: периметр параллелограмма ABCD равен 48 см, сторона AB на 4 см меньше стороны BC, а угол ∠A = 70°. Найти все стороны и все углы. Решение: пусть AB = x см, тогда BC = x + 4. По формуле периметра 2(x + x + 4) = 48, значит 2x + 4 = 24, откуда 2x = 20 и x = 10. Итак, AB = CD = 10 см, BC = AD = 14 см. Углы: ∠C = ∠A = 70° как противоположные; ∠B = 180° − 70° = 110° как угол, прилежащий к той же стороне; ∠D = ∠B = 110°. Проверка суммы: 70 + 110 + 70 + 110 = 360°. Ответ: 10 см, 14 см, 10 см, 14 см; углы 70°, 110°, 70°, 110°.

Свойства ромба переносят на прямоугольник и наоборот: пишут, что диагонали прямоугольника перпендикулярны, или что диагонали ромба равны. Перпендикулярность диагоналей — признак ромба, равенство диагоналей — признак прямоугольника; вместе они выполняются только у квадрата. Ещё одна ошибка — считать равнобедренной любую трапецию: равенство углов при основании требует доказательства или должно быть дано.