Отношения и пропорции: основное свойство, прямая и обратная пропорциональность, масштаб

Отношение двух чисел a : b (b ≠ 0) — частное a : b, показывает, во сколько раз a больше b. Пропорция — равенство двух отношений: a : b = c : d. Числа a и d — крайние члены, b и c — средние. Читают: «a относится к b, как c относится к d».

Если a : b = c : d, то a · d = b · c (произведение крайних равно произведению средних). Отсюда неизвестный член: x = (b · c) : d, если x стоит на месте a; x = (a · d) : c, если x на месте b.

Прямая: при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз; отношение y : x постоянно, y = k · x. Пример: количество товара и стоимость. Обратная: при увеличении одной величины другая уменьшается во столько же раз; произведение x · y постоянно. Пример: скорость и время при фиксированном пути.

Масштаб M = длина на плане : длина на местности, обе длины в одинаковых единицах. Масштаб 1 : 25 000 значит, что 1 см на карте — это 25 000 см = 250 м на местности. Длина на местности = длина на плане · знаменатель масштаба.

Задача 1 (масштаб). Масштаб 1 : 200 000, на карте отрезок 4,5 см. На местности: 4,5 · 200 000 = 900 000 см = 9 000 м = 9 км. Задача 2 (прямая). 3,5 м ткани стоят 1 190 руб. Сколько стоят 5 м? Пропорция 3,5 : 5 = 1190 : x, значит 3,5x = 5 · 1190 = 5950, x = 1700 руб. Задача 3 (обратная). 6 насосов откачивают воду за 10 ч. За сколько справятся 4 насоса? Произведение постоянно: 6 · 10 = 60, значит t = 60 : 4 = 15 ч.

Задача: 4 рабочих строят за 12 дней, за сколько построят 6 рабочих? Ошибка: 4 : 6 = 12 : x → x = 18 дней (больше рабочих — дольше?). Верно, что зависимость обратная: 4 · 12 = 6 · x → x = 8 дней. Признак: если увеличение одной величины уменьшает другую — пропорция «перевёрнутая». Вторая ловушка масштаба: забывают перевести см в км (1 км = 100 000 см).