Координатно-векторный метод в стереометрии

Координаты вектора AB = (x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1). Длина: |a| = √(x² + y² + z²). Скалярное произведение: a·b = x1x2 + y1y2 + z1z2 = |a|·|b|·cos φ. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, где n(A; B; C) — вектор нормали.

Угол между прямыми: cos φ = |a·b| / (|a|·|b|), модуль обязателен. Угол между прямой и плоскостью: sin φ = |a·n| / (|a|·|n|), где n — нормаль плоскости. Угол между плоскостями: cos φ = |n1·n2| / (|n1|·|n2|). Во всех трёх формулах модуль гарантирует, что угол не превзойдёт 90°.

Способ первый: взять два неколлинеарных вектора в плоскости и решить систему n·a = 0, n·b = 0, положив одну координату нормали равной удобному числу. Способ второй: подставить координаты трёх точек плоскости в уравнение Ax + By + Cz + D = 0 и решить систему относительно A, B, C, D с точностью до множителя. Нормаль определена с точностью до умножения на ненулевое число.

Расстояние от точки M(x0; y0; z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²). Расстояние между двумя точками: d = √((x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²). Расстояние от точки до прямой удобно считать через площадь треугольника: d = 2S / a.

Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁. Решение. 1) Введём прямоугольную систему координат: начало в точке A, ось x вдоль AB, ось y вдоль AD, ось z вдоль AA₁. Оси попарно перпендикулярны, так как рёбра куба, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны. 2) Тогда A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), A₁(0;0;1), B₁(1;0;1), C₁(1;1;1). 3) Направляющие векторы: AB₁ = (1; 0; 1), BC₁ = (1 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (0; 1; 1). 4) Скалярное произведение: 1·0 + 0·1 + 1·1 = 1. 5) Длины: |AB₁| = √(1 + 0 + 1) = √2, |BC₁| = √(0 + 1 + 1) = √2. 6) cos φ = |1| / (√2 · √2) = 1/2, значит φ = 60°. Ответ: 60°.

Первое: не обоснована перпендикулярность выбранных осей — в наклонной призме или в пирамиде с косым основанием оси по рёбрам не ортогональны, и метод даёт неверный результат. Второе: пропущен модуль в числителе, из-за чего получается тупой угол, который по определению углом между прямыми быть не может. Третье: для угла между прямой и плоскостью применяют косинус вместо синуса. Четвёртое: найден косинус, а в ответ нужно записать угол — или наоборот. Пятое: координатным методом пытаются доказать пункт а), не переводя вывод обратно на геометрический язык; чисто вычислительное доказательство без явного вывода эксперт может не засчитать.