Углы и расстояния в пространстве
Как корректно строить и обосновывать угол между прямыми, прямой и плоскостью, двугранный угол и расстояние от точки до плоскости.
В задании 13 профильного ЕГЭ пункт б) почти всегда просит угол или расстояние. Балл теряется не на вычислениях, а на обосновании: нужно доказать, что построенный угол действительно является искомым, а построенный отрезок действительно перпендикулярен плоскости.
Прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной. Верна и обратная теорема. Это главный инструмент обоснования перпендикулярности в задании 13 и основной способ построить линейный угол двугранного угла.
Определения углов в пространстве
| Угол | Определение | Диапазон значений |
|---|---|---|
| Между скрещивающимися прямыми | угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным | от 0° до 90° |
| Между прямой и плоскостью | угол между прямой и её проекцией на плоскость | от 0° до 90° |
| Двугранный | измеряется линейным углом — углом между лучами, перпендикулярными ребру в одной точке | от 0° до 180° |
| Между плоскостями | наименьший из двугранных углов при их пересечении | от 0° до 90° |
В обеих гранях из одной точки ребра проводятся лучи, перпендикулярные ребру. Угол между этими лучами и есть линейный угол. В решении обязательно нужно доказать перпендикулярность обоих лучей ребру — чаще всего через теорему о трёх перпендикулярах или через признак перпендикулярности прямой и плоскости.
- ·Одну прямую параллельно переносят до пересечения со второй
- ·Нужно обосновать параллельность переноса
- ·Результат не превосходит 90°
- ·Удобно считать через векторы: cos φ = |a·b| / (|a|·|b|)
- ·Модуль в числителе обязателен
- ·Строится проекция прямой на плоскость
- ·Нужно доказать, что перпендикуляр действительно перпендикулярен плоскости
- ·Результат не превосходит 90°
- ·Через векторы: sin φ = |a·n| / (|a|·|n|)
- ·Здесь синус, а не косинус — частая путаница
Расстояние от точки до плоскости через объём: d = 3V / S. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые, и вычисляется как d = 3V / S для подходящего тетраэдра. Площадь проекции: S(проекции) = S(фигуры) · cos φ, где φ — угол между плоскостями.
Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BDA₁. Решение. 1) Рассмотрим тетраэдр ABDA₁. Его объём удобно посчитать как пирамиду с вершиной A₁ и основанием ABD: V = ⅓ · S(ABD) · AA₁ = ⅓ · ½ · 1 · 1 · 1 = 1/6. 2) Теперь тот же объём выразим через грань BDA₁: треугольник BDA₁ равносторонний, так как BD = DA₁ = A₁B = √2 (все три отрезка — диагонали граней куба). 3) Площадь равностороннего треугольника со стороной √2: S = (√2)²·√3/4 = √3/2. 4) Из V = ⅓ · S(BDA₁) · d получаем 1/6 = ⅓ · (√3/2) · d, откуда d = (1/6) · 3 / (√3/2) = (1/2) · 2/√3 = 1/√3 = √3/3. Ответ: √3/3.
Первое: угол построен, но не доказано, что он искомый, — например, не обосновано, что отрезок является проекцией. Это стоит балла даже при верном числовом ответе. Второе: перпендикулярность прямой и плоскости объявлена «очевидной» вместо ссылки на признак (перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости). Третье: для угла между прямой и плоскостью считают косинус вместо синуса. Четвёртое: линейный угол двугранного угла строят из произвольной точки, не проверив перпендикулярность лучей ребру. Пятое: получают угол больше 90° и оставляют его как ответ, хотя по определению нужен смежный.
- ✓Доказано, что построенный отрезок перпендикулярен плоскости (через признак или теорему о трёх перпендикулярах).
- ✓Доказано, что построенный угол является линейным углом двугранного.
- ✓Для угла между прямой и плоскостью использован синус, для угла между прямыми — косинус с модулем.
- ✓Итоговый угол приведён к диапазону, соответствующему определению.
- ✓Если использован способ через объём, объём посчитан двумя разными способами корректно.
- ✓Ответ дан в точной форме.