Планиметрия для ЕГЭ: треугольник, окружность, задача с развёрнутым ответом
Ключевые планиметрические факты и схема оформления задачи с доказательством, где пункт а) и пункт б) оцениваются раздельно.
Планиметрическая задача с развёрнутым ответом (в КИМ ЕГЭ профильного уровня она идёт под номером 15) устроена одинаково: пункт а) — доказательство, пункт б) — вычисление. Балл за пункт б) не ставят, если он опирается на недоказанный факт, а пункт а) оценивается отдельно, поэтому его нужно писать даже при нерешённом б).
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следствия, которые чаще всего работают в задаче 15: углы, опирающиеся на одну дугу, равны; угол, опирающийся на диаметр, прямой; четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° или когда два угла, опирающиеся на один отрезок, равны и лежат по одну сторону от него.
Теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Теорема синусов: a/sin A = 2R. Площадь: S = ½ab·sin C = p·r = abc/(4R). Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон: BD/DC = AB/AC. Формула медианы: m² = (2a² + 2b² − c²)/4. Пересекающиеся хорды: AP·PB = CP·PD.
- ·Требуется цепочка обоснованных переходов
- ·Каждый шаг опирается на названную теорему
- ·Числовые данные из пункта б) использовать нельзя
- ·Заканчивается фразой о доказанном утверждении
- ·Оценивается отдельным баллом
- ·Можно опираться на доказанное в пункте а)
- ·Нужен полный ход вычислений, а не только ответ
- ·Ответ в точной форме, если не сказано иное
- ·Требуется проверка существования конфигурации
- ·Без верного пункта а) может быть засчитан, если а) не используется
Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. Две окружности касаются внешним образом, если расстояние между центрами равно сумме радиусов, и внутренним — если равно разности. Общая внутренняя касательная существует только при внешнем расположении. Линия центров перпендикулярна общей хорде и делит её пополам.
Признаки вписанного и описанного четырёхугольника
| Утверждение | Критерий | Где применяется |
|---|---|---|
| Четырёхугольник вписан в окружность | сумма противоположных углов равна 180° | доказательство в пункте а) |
| Четырёхугольник вписан в окружность | два угла, опирающиеся на один отрезок, равны и лежат по одну сторону | доказательство лежания четырёх точек на окружности |
| В четырёхугольник вписана окружность | суммы противоположных сторон равны: a + c = b + d | вычисление стороны в пункте б) |
| Трапеция вписана в окружность | трапеция равнобедренная | переход к равным диагоналям |
| Точки лежат на одной окружности | равенство произведений отрезков секущих | обоснование того, что четыре точки лежат на одной окружности |
Условие. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке P. а) Докажите, что треугольники BPC и DPA подобны. б) Найдите BC, если AD = 12, а площади треугольников BPC и DPA равны 9 и 36 соответственно. Решение пункта а). 1) BC ∥ AD по определению трапеции. 2) AC — секущая для параллельных прямых BC и AD, значит ∠PCB = ∠PAD как накрест лежащие углы. 3) BD — секущая для тех же прямых, значит ∠PBC = ∠PDA как накрест лежащие углы. 4) Треугольники BPC и DPA подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Что и требовалось доказать. Решение пункта б). 1) Из пункта а) треугольники подобны; пусть коэффициент подобия равен k = BC/AD. 2) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S(BPC)/S(DPA) = k². 3) 9/36 = k², значит k² = 1/4 и k = 1/2 (берём положительный корень, так как коэффициент подобия положителен). 4) BC = k · AD = ½ · 12 = 6. Ответ: б) 6.
Первое: пункт а) и пункт б) не разделены — эксперт не может оценить их отдельно, и балл за доказательство теряется. Второе: параллельность или перпендикулярность взята с чертежа без обоснования — рассуждение признаётся необоснованным. Третье: коэффициент подобия найден без указания, что берётся положительный корень, или потерян второй корень уравнения в пункте б). Четвёртое: не рассмотрено второе расположение точки (например, центр окружности по другую сторону от хорды), из-за чего пропущен второй ответ. Пятое: ответ округлён, хотя требуется точное значение.
- ✓Пункты а) и б) записаны отдельными абзацами с явными заголовками.
- ✓Чертёж крупный и невырожденный, обозначения совпадают с условием.
- ✓Каждая параллельность и перпендикулярность обоснована ссылкой.
- ✓Проверено существование конфигурации при найденных значениях.
- ✓Лишние корни отброшены с объяснением причины.
- ✓В конце пункта а) стоит вывод, в конце пункта б) — слово «Ответ» и значение.