Степень с целым отрицательным показателем и функция y = k/x
Отрицательные показатели, стандартный вид числа и гипербола обратной пропорциональности.
При a ≠ 0 и натуральном n: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Также a⁰ = 1. Все свойства степени сохраняются для целых показателей: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ:aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Полезно: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ.
a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, n — целое. Порядок числа — показатель n. Для больших чисел n > 0: 3 400 000 = 3,4·10⁶. Для малых n < 0: 0,00072 = 7,2·10⁻⁴. Умножение: (a·10ᵐ)(b·10ⁿ) = ab·10ᵐ⁺ⁿ.
y = k/x при k ≠ 0. Область определения x ≠ 0, область значений y ≠ 0. График — гипербола из двух ветвей. При k > 0 ветви в I и III четвертях, функция убывает на каждом промежутке. При k < 0 ветви во II и IV четвертях, функция возрастает на каждом промежутке. Оси координат — асимптоты.
Найти значение (2⁻³ · 2⁵)/(2⁻¹)². Числитель: 2⁻³⁺⁵ = 2². Знаменатель: (2⁻¹)² = 2⁻². Делим: 2²⁻⁽⁻²⁾ = 2⁴ = 16. Проверка напрямую: числитель 0,125·32 = 4; знаменатель (0,5)² = 0,25; 4/0,25 = 16.
Вычислить (4·10⁻⁵)·(3·10⁸) и записать в стандартном виде. Перемножаем мантиссы: 4·3 = 12. Складываем показатели: −5 + 8 = 3. Получаем 12·10³, но 12 > 10, поэтому переписываем: 1,2·10¹·10³ = 1,2·10⁴ = 12 000.
Отрицательные степени десятки
| Степень | Значение | Пример записи |
|---|---|---|
| 10⁻¹ | 0,1 | 0,45 = 4,5·10⁻¹ |
| 10⁻² | 0,01 | 0,037 = 3,7·10⁻² |
| 10⁻³ | 0,001 | 0,0052 = 5,2·10⁻³ |
| 10⁻⁶ | 0,000001 | 0,0000029 = 2,9·10⁻⁶ |
2⁻³ = 1/8 = 0,125, а не −8. Знак минус в показателе означает переход к обратному числу, а не смену знака. Вторая ошибка: у гиперболы ищут точку при x = 0 — её нет, ось Oy является асимптотой. Третья: считают, что y = 6/x убывает «на всей области определения» — правильно говорить, что она убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞) по отдельности.
- ✓Перевёл отрицательный показатель в дробь 1/aⁿ
- ✓В стандартном виде мантисса лежит между 1 и 10
- ✓Показатели при умножении сложены, при делении вычтены
- ✓Для гиперболы определил четверти по знаку k
- ✓Помню, что x = 0 не входит в область определения y = k/x