Дробно-рациональные уравнения и текстовые задачи

Дробно-рациональное уравнение содержит переменную в знаменателе. Порядок: найти ОДЗ, привести к общему знаменателю, приравнять числитель к нулю, решить полученное целое уравнение, отбросить корни, не входящие в ОДЗ.

P(x)/Q(x) = 0 тогда и только тогда, когда P(x) = 0 И Q(x) ≠ 0 одновременно. Проверка знаменателя — не формальность: именно там появляются посторонние корни.

Движение: t = s/v; разность времён t₁ − t₂ = Δt. Совместная работа: вся работа принимается за 1, производительность = 1/t, при совместной работе 1/t₁ + 1/t₂ = 1/t. Если объект делает работу за t часов, за 1 час он выполняет 1/t часть.

Решить x/(x − 3) = 3/(x − 3) + 2. ОДЗ: x ≠ 3. Умножаем всё на (x − 3): x = 3 + 2(x − 3), то есть x = 3 + 2x − 6, откуда −x = −3, x = 3. Но x = 3 не входит в ОДЗ, значит уравнение корней не имеет. Ответ: решений нет.

Первая труба наполняет бассейн за 12 ч, вторая — за 24 ч. За сколько часов они наполнят его вместе? Производительности 1/12 и 1/24. Совместная: 1/12 + 1/24 = 2/24 + 1/24 = 3/24 = 1/8. Значит время t = 8 ч. Проверка: за 8 ч первая даёт 8/12 = 2/3, вторая 8/24 = 1/3, вместе 1 — весь бассейн.

Велосипедист проехал 60 км. Если бы он ехал на 5 км/ч быстрее, то потратил бы на 1 ч меньше. Найти скорость v. Уравнение: 60/v − 60/(v + 5) = 1. Умножаем на v(v + 5): 60(v + 5) − 60v = v(v + 5), то есть 300 = v² + 5v. Получаем v² + 5v − 300 = 0, D = 25 + 1200 = 1225, √D = 35, v = (−5 ± 35)/2, корни 15 и −20. Скорость положительна: v = 15 км/ч. Проверка: 60/15 = 4 ч, 60/20 = 3 ч, разница 1 ч.

Умножение на выражение с переменной может добавить посторонние корни — проверка по ОДЗ обязательна. В задачах отбрасывают отрицательные скорости и время. Ещё ошибка в работе: складывают времена (12 + 24 = 36 ч) вместо производительностей — так вместе получилось бы дольше, чем в одиночку, что бессмысленно.