Рациональные дроби: ОДЗ, сокращение и действия

Рациональная дробь — выражение P/Q, где P и Q — многочлены, Q ≠ 0. Область допустимых значений — все значения переменной, при которых знаменатель отличен от нуля. ОДЗ определяют по ИСХОДНОМУ выражению, до всяких сокращений.

Числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же выражение, не равное нулю: P/Q = (P·R)/(Q·R). Сокращение — деление на общий множитель, поэтому сначала числитель и знаменатель раскладывают на множители.

a/c + b/c = (a + b)/c; a/b + c/d = (ad + bc)/(bd); (a/b)·(c/d) = ac/(bd); (a/b) : (c/d) = (a/b)·(d/c) = ad/(bc). Смена знака: −a/b = a/(−b) = −(a/b); (a − b) = −(b − a).

Сократить (x² − 9)/(x² + 6x + 9) и указать ОДЗ. Знаменатель ноль при x² + 6x + 9 = 0, то есть (x + 3)² = 0, x = −3; ОДЗ: x ≠ −3. Раскладываем: числитель (x − 3)(x + 3), знаменатель (x + 3)². Сокращаем на (x + 3): получаем (x − 3)/(x + 3). Проверка при x = 1: исходное (1 − 9)/(1 + 6 + 9) = −8/16 = −0,5; результат (1 − 3)/(1 + 3) = −0,5.

Упростить 1/(x − 2) − 4/(x² − 4). ОДЗ: x ≠ 2 и x ≠ −2. Раскладываем x² − 4 = (x − 2)(x + 2), общий знаменатель (x − 2)(x + 2). Приводим: (x + 2)/((x − 2)(x + 2)) − 4/((x − 2)(x + 2)) = (x + 2 − 4)/((x − 2)(x + 2)) = (x − 2)/((x − 2)(x + 2)) = 1/(x + 2). Проверка при x = 0: 1/(−2) − 4/(−4) = −0,5 + 1 = 0,5; результат 1/2 = 0,5.

Нельзя сокращать через плюс: (x + 5)/(x + 3) не равно 5/3, сокращают только множители. Вторая ошибка: ОДЗ ищут по упрощённой дроби. В примере выше после сокращения остаётся 1/(x + 2), но x = 2 всё равно исключён — условие берут из исходной записи. Третья: при вычитании дробей забывают скобки у числителя и теряют знак.