Обыкновенные дроби: виды, смешанные числа, основное свойство, сравнение, сложение и вычитание

В дроби m/n знаменатель n показывает, на сколько равных долей разделили целое, числитель m — сколько таких долей взяли. Правильная дробь: m < n, она меньше 1 (например 3/8). Неправильная дробь: m ≥ n, она больше или равна 1 (например 9/4). Дробная черта означает деление: 9 : 4 = 9/4.

m/n = (m · k)/(n · k) = (m : k)/(n : k), где k ≠ 0. Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число даёт равную дробь (расширение), деление — сокращение. Пример: 3/4 = 15/20; 18/24 = 3/4 (сократили на 6).

При одинаковых знаменателях больше та дробь, у которой числитель больше: 5/9 > 4/9. При одинаковых числителях больше та, у которой знаменатель меньше: 3/5 > 3/8 (доли крупнее). В остальных случаях приводят к общему знаменателю. Правильная дробь всегда меньше неправильной.

a/n ± b/n = (a ± b)/n. Для разных знаменателей: a/m ± b/n = (a·k₁ ± b·k₂)/N, где N — общий знаменатель, k₁ = N : m, k₂ = N : n — дополнительные множители.

Общий знаменатель для 12 и 8 равен 24. Дополнительные множители: 24 : 12 = 2 и 24 : 8 = 3. Получаем 3 10/24 − 1 9/24. Дробные части вычитаются: 10/24 − 9/24 = 1/24. Целые: 3 − 1 = 2. Ответ 2 1/24. Проверка сложением: 2 1/24 + 1 9/24 = 3 10/24 = 3 5/12 — сходится.

Ошибка: 1/2 + 1/3 = 2/5. Верно: 3/6 + 2/6 = 5/6. Проверка здравым смыслом — сумма должна быть больше каждого слагаемого, а 2/5 меньше 1/2. Вторая ловушка — вычитание с «занятием»: 5 1/6 − 2 5/6 нельзя считать почленно, надо взять единицу: 5 1/6 = 4 7/6, тогда 4 7/6 − 2 5/6 = 2 2/6 = 2 1/3.