Треугольник и три признака равенства треугольников
Треугольник задаётся тремя вершинами, а его равенство другому доказывается одним из трёх признаков: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам.
Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. У равных треугольников соответственные стороны равны и соответственные углы равны. Порядок букв в записи ΔABC = ΔA₁B₁C₁ обязателен: он показывает, какая вершина какой соответствует.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Что нужно найти для каждого признака
| Признак | Набор равных элементов | Ключевое условие |
|---|---|---|
| Первый (СУС) | две стороны и угол | угол лежит между этими сторонами |
| Второй (УСУ) | сторона и два угла | оба угла прилежат к этой стороне |
| Третий (ССС) | три стороны | дополнительных условий нет |
| Не признак | две стороны и угол не между ними | равенство не гарантировано |
| Не признак | три угла | получается подобие, а не равенство |
P = a + b + c, где a, b, c — длины сторон в см. Для равных треугольников P₁ = P₂, но обратное неверно: равенство периметров равенства треугольников не даёт.
Условие: отрезки AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = OC = 5 см и BO = OD = 7 см. Найти AB, если CD = 9 см. Решение: рассмотрим ΔAOB и ΔCOD. Первое: AO = OC = 5 см по условию. Второе: BO = OD = 7 см по условию. Третье: ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы. Значит, ΔAOB = ΔCOD по первому признаку (две стороны и угол между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон: AB = CD = 9 см. Ответ: AB = 9 см.
- ·AB = A₁B₁ = 6 см
- ·AC = A₁C₁ = 8 см
- ·∠A = ∠A₁ = 40°
- ·Угол зажат между сторонами
- ·Вывод: треугольники равны
- ·AB = A₁B₁ = 6 см
- ·AC = A₁C₁ = 8 см
- ·∠B = ∠B₁ = 40°
- ·Угол лежит против стороны AC
- ·Вывод: равенство не доказано
Записывают равенство ΔABC = ΔC₁B₁A₁ произвольно, не следя за соответствием вершин. Тогда следствие «AB = A₁B₁» оказывается ложным. Порядок букв — часть утверждения: первая буква соответствует первой, вторая второй, третья третьей. Вторая ошибка — забыть про общую сторону: если у двух треугольников есть общий отрезок, его равенство самому себе тоже надо явно выписать как одно из трёх условий.
- ✓Выписаны ровно три равенства элементов
- ✓Указан номер признака словами: по первому, второму или третьему
- ✓Соответствие вершин в записи равенства треугольников соблюдено
- ✓Учтены скрытые равенства: общая сторона, вертикальные углы
- ✓Ответ дан в нужных единицах: стороны в см, углы в градусах