Начальные понятия: точка, прямая, отрезок, луч, угол. Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые
Базовые фигуры планиметрии и два рабочих факта об углах: смежные дают 180°, вертикальные равны.
Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются ровно в одной точке. Если точка C лежит между A и B, то AC + CB = AB.
Словарь начальных фигур
- Точка — не имеет размеров, обозначается заглавной латинской буквой: A, B, C.
- Прямая — бесконечна в обе стороны, обозначается a или AB.
- Отрезок AB — часть прямой между точками A и B вместе с концами; имеет длину, например 6 см.
- Луч OA — часть прямой от точки O в одну сторону; O — начало луча.
- Угол — два луча с общим началом (вершиной); измеряется в градусах, обозначается ∠AOB.
Виды углов по градусной мере
| Вид угла | Градусная мера | Пример |
|---|---|---|
| Острый | больше 0° и меньше 90° | 37° |
| Прямой | ровно 90° | 90° |
| Тупой | больше 90° и меньше 180° | 125° |
| Развёрнутый | ровно 180° | 180° |
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие — дополнительные лучи одной прямой; сумма смежных углов равна 180°. Два угла называются вертикальными, если стороны одного являются дополнительными лучами сторон другого; вертикальные углы равны.
Смежные: ∠1 + ∠2 = 180°. Вертикальные: ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4. При пересечении двух прямых образуются 4 угла, и ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°.
- ·Одна сторона общая
- ·Две другие стороны образуют прямую
- ·Сумма равна 180°
- ·Если один 62°, второй 118°
- ·Оба прямые только при 90° и 90°
- ·Общая только вершина
- ·Стороны попарно дополнительны
- ·Углы равны между собой
- ·Если один 62°, второй тоже 62°
- ·Образуются при пересечении двух прямых
Две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла; запись a ⊥ b. Через данную точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.
Условие: прямые AB и CD пересекаются в точке O; один из углов на 40° больше смежного с ним. Найти все четыре угла. Решение: пусть меньший угол равен x градусов, тогда смежный равен x + 40. По свойству смежных углов x + (x + 40) = 180, значит 2x = 140 и x = 70. Итак, углы 70° и 110°. По свойству вертикальных углов противоположные им углы тоже равны 70° и 110°. Ответ: 70°, 110°, 70°, 110°. Проверка: 70 + 110 + 70 + 110 = 360°.
Углы с общей вершиной объявляют вертикальными «на глаз». Вертикальными они являются только тогда, когда обе пары сторон лежат на двух прямых, то есть стороны одного угла продолжают стороны другого. Если хотя бы одна сторона не является продолжением, углы не вертикальные, и равенство писать нельзя. Вторая частая ошибка — записывать сумму смежных углов как 90° вместо 180°.
- ✓Вершина названа средней буквой в записи ∠AOB
- ✓Для смежных углов записано уравнение с суммой 180°
- ✓Равенство вертикальных углов применено только к настоящим вертикальным парам
- ✓Все четыре угла в ответе в сумме дают 360°
- ✓Единицы измерения указаны: градусы для углов, см для отрезков