Формулы сокращённого умножения
Семь формул — квадраты суммы и разности, разность квадратов, кубы суммы и разности, сумма и разность кубов — и их применение.
(a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b); (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³; (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³; a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
Слева свёрнутый вид, справа развёрнутый. Слева направо — раскрываем скобки; справа налево — раскладываем на множители. Роль a и b может играть любое выражение: число, одночлен, скобка.
- ·Даёт трёхчлен
- ·a² − 2ab + b²
- ·(x − 3)² = x² − 6x + 9
- ·На множители не раскладывается дальше
- ·Даёт произведение
- ·(a − b)(a + b)
- ·x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
- ·Сумма квадратов a² + b² не раскладывается
Упростить (2x + 3)² − (2x − 3)(2x + 3). Первое слагаемое: (2x)² + 2·2x·3 + 3² = 4x² + 12x + 9. Второе — разность квадратов: (2x)² − 3² = 4x² − 9. Вычитаем: 4x² + 12x + 9 − (4x² − 9) = 12x + 18. Проверка при x = 1: (5)² − (−1)(5) = 25 + 5 = 30; по ответу 12 + 18 = 30 — совпало.
Вычислить 102² и 97·103 устно. 102² = (100 + 2)² = 10000 + 2·100·2 + 4 = 10404. 97·103 = (100 − 3)(100 + 3) = 10000 − 9 = 9991. Куб: 21³ = (20 + 1)³ = 8000 + 3·400·1 + 3·20·1 + 1 = 9261.
Формулы на числах
| Формула | Подстановка | Проверка |
|---|---|---|
| (a + b)² | a = 3, b = 4 | 49 = 9 + 24 + 16 |
| (a − b)² | a = 7, b = 2 | 25 = 49 − 28 + 4 |
| a² − b² | a = 8, b = 5 | 39 = 3 · 13 |
| a³ − b³ | a = 4, b = 1 | 63 = 3 · (16 + 4 + 1) |
| a³ + b³ | a = 2, b = 3 | 35 = 5 · (4 − 6 + 9) |
В формулах суммы и разности кубов вторая скобка содержит a² ∓ ab + b² БЕЗ коэффициента 2: это неполный квадрат. Ошибка a³ − b³ = (a − b)(a² + 2ab + b²) встречается постоянно. И помните: знак в скобке противоположен знаку между кубами — у a³ + b³ внутри стоит −ab.
Где ФСУ экономят время
- Устный счёт: 98², 41·39, 53² − 47²
- Сокращение дробей: (x² − 25)/(x + 5) = x − 5
- Доказательство делимости и тождеств
- Выделение полного квадрата в квадратном трёхчлене
- ✓Правильно определил a и b, включая коэффициенты
- ✓Не потерял средний член 2ab
- ✓В сумме и разности кубов написал неполный квадрат
- ✓Не пытался разложить сумму квадратов
- ✓Подставил число и сверил обе части